Задаволены

• Крокі
• Парада

Калі вы матэматык або графічны праграміст, вам, верагодна, прыйдзецца знайсці вугал паміж двума дадзенымі вектарамі. У гэтым артыкуле wikiHow паказвае, як гэта зрабіць.

Крокі

Частка 1 з 2: Знайдзіце вугал паміж двума вектарамі

1. 

   Вызначэнне вектара. Запішыце ўсю інфармацыю пра два вектары, якія ў вас ёсць. Дапусцім, у вас ёсць толькі зададзеныя параметры іх размерных каардынат (іх яшчэ называюць кампанентамі). Калі вы ўжо ведаеце даўжыню (велічыню) вектара, вы можаце прапусціць некаторыя крокі ніжэй.
   • Прыклад: двухмерны вектар = (2,2) і двухмерны вектар = (0,3). Іх таксама можна запісаць як = 2я + 2j і = 0я + 3j = 3j.
   • Хоць у прыкладзе гэтага артыкула выкарыстаны двухмерныя вектары, наступныя інструкцыі могуць прымяняцца да вектараў з любой колькасцю вымярэнняў.

2. 

   
   
   Запішыце формулу косінуса. Каб знайсці вугал θ паміж двума вектарамі, мы пачнем з формулы знаходжання косінуса для гэтага вугла. Вы можаце даведацца пра гэтую формулу ніжэй, альбо проста запісаць яе так:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| азначае "даўжыня вектара".
   • • з'яўляецца скалярным творам двух вектараў - гэта будзе растлумачана ніжэй.

3. 

   
   
   Вылічыце даўжыню кожнага вектара. Уявіце сабе прамавугольны трохвугольнік, які складаецца з х, у кампанентаў вектара і самога вектара. Вектар утварае гіпатэнузу трохвугольніка, таму для знаходжання яго даўжыні выкарыстоўваем тэарэму Піфагора. На самай справе гэтую формулу можна лёгка распаўсюдзіць на вектар любой колькасці вымярэнняў.
   • || u || = і₁ + u₂. Калі вектар мае больш за два элементы, вам проста трэба працягваць дадаваць + u₃ + u₄ +...
   • Такім чынам, для двухмернага вектара || u || = √ (і₁ + u₂).
   • У гэтым прыкладзе |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Вылічыце скалярны твор двух вектараў. Магчыма, вы даведаліся пра спосаб множання вектараў, таксама вядомы як шкаляр гэта. Каб разлічыць скалярны прадукт адносна яго складу, памножце інгрэдыенты ў кожным кірунку разам, а потым складзіце ўвесь вынік.
   • Для атрымання графічнай праграмы звярніцеся да Парады, перш чым чытаць далей.
   • У матэматыцы • = і₁v₁ + u₂v₂, дзе, u = (u₁, u₂). Калі вектар мае больш за два элементы, проста дадайце + u₃v₃ + u₄v₄...
   • У гэтым прыкладзе • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Гэта скалярнае здабытак вектара і вектара.

5. 

   Змесціце вынікі ў формулу. Памятайце, што cosθ = (•) / (|||| || ||). Цяпер мы ведаем і скалярны твор, і даўжыню кожнага вектара. Увядзіце іх у формулу, каб вылічыць косінус вугла.
   • У нашым прыкладзе cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Знайдзіце вугал на аснове яго косінуса. Вы можаце выкарыстоўваць функцыю arccos або cos у калькулятары, каб знайсці θ па вядомым значэнні cos. З некаторымі вынікамі вы можаце знайсці кут на аснове адзінкавай акружнасці.
   • У прыкладзе, cosθ = √2 / 2. Увядзіце ў калькулятары "arccos (√2 ​​/ 2)", каб знайсці кут. Ці вы можаце знайсці кут θ на адзінкавай акружнасці ў становішчы cosθ = √2 / 2. Гэта дакладна для θ = /₄ альбо 45º.
   • Аб'ядноўваючы ўсё, канчатковая формула: вугал θ = арккосінус ((•) / (|||| || ||))
   рэклама

Частка 2 з 2: Вызначэнне формулы вугла

1. 

   Зразумець прызначэнне формулы. Гэтая формула не была атрымана з існуючых правілаў. Замест гэтага ён утвараецца як вызначэнне скалярнага твора і вугла паміж двума вектарамі. Нягледзячы на ​​гэта, гэта не было адвольным рашэннем. Вяртаючыся да асноўнай геаметрыі, мы можам зразумець, чаму гэтая формула дае інтуітыўныя і карысныя азначэнні.
   • У прыведзеных ніжэй прыкладах выкарыстоўваюцца двухмерныя вектары, таму што яны простыя ў разуменні і найпростыя. Трохмерныя і больш вектараў валодаюць уласцівасцямі, якія вызначаюцца амаль падобнымі агульнымі формуламі.

2. 

   Агляд тэарэмы Косінуса. Разгледзім звычайны трохвугольнік з вуглом θ паміж бакамі a і b, процілеглым баку c. Тэарэма Косінуса сцвярджае, што c = a + b -2abкас(θ). Гэты вынік бярэцца проста з асноўнай геаметрыі.

3. 

   Злучыце два вектары, утвараючы трохвугольнік. Намалюйце на паперы пару двухмерных вектараў, вектараў і вектараў, пры гэтым θ - вугал паміж імі. Намалюйце трэці вектар паміж імі, каб стварыць трохвугольнік. Іншымі словамі, намалюйце вектар, такі што + =. Вектар = -.

4. 

   Запішыце тэарэму Косінуса для гэтага трохвугольніка. Падстаўце даўжыню стараны нашага "вектарнага трохвугольніка" ў тэарэму Косінуса:
   • || (а - б) || = || а || + || b || - 2 || а || || b ||кас(θ)

5. 

   Перапішыце скалярным творам. Памятайце, скалярны твор - гэта выява аднаго вектара на іншым. Скалярнае здабытак вектара само па сабе не патрабуе праекцыі, бо тут няма розніцы ў кірунку. Гэта азначае • = || a ||. Выкарыстоўваючы гэта, мы перапісваем раўнанне:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||кас(θ)

6. 

   Паспяхова перапісана тая ж формула. Разгарніце левы бок формулы, а потым спросціце, каб формула выкарыстоўвалася для пошуку вуглоў.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || а || || b ||кас(θ)
   • - • - • = -2 || а || || b ||кас(θ)
   • -2 (•) = -2 || а || || b ||кас(θ)
   • • = || a || || b ||кас(θ)
   рэклама

Парада

• Каб змяніць значэнні і хутка вырашыць задачу, выкарыстоўвайце гэтую формулу для любой пары двухмерных вектараў: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (і₁ • і₂) • √ (с₁ • v₂)).
• Калі вы працуеце з праграмным забеспячэннем для камп'ютэрнай графікі, хутчэй за ўсё, вам трэба будзе турбавацца толькі пра памеры вектара, не клапоцячыся пра іх даўжыню. Каб скараціць ураўненне і паскорыць праграму, выканайце наступныя дзеянні:
  • Нармалізуйце кожны вектар так, каб ён быў роўны 1. Для гэтага падзяліце кожны з кампанентаў вектара на яго даўжыню.
  • Атрымайце нармаванае здабытак скаляра замест зыходнага вектара.
  • Паколькі даўжыня роўная 1, мы можам выключыць элементы даўжыні з раўнання. Нарэшце, атрыманае ўраўненне вугла - arccos (•).
• Зыходзячы з формулы косінуса, мы можам хутка вызначыць, кут востры ці тупы. Пачніце з cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Левы і правы бакі ўраўнення павінны мець аднолькавы знак (дадатны ці адмоўны).
  • Паколькі даўжыня заўсёды дадатная, cosθ павінен мець той самы знак, што і скалярны твор.
  • Такім чынам, калі прадукт станоўчы, cosθ таксама станоўчы. Мы знаходзімся ў першым квадранце адзінкавай акружнасці з θ <π / 2 альбо 90º. Вугал, які трэба знайсці, - гэта рэзкі кут.
  • Калі скалярнае здабытак адмоўнае, cosθ адмоўнае. Мы знаходзімся ў другім квадранце адзінкавай акружнасці з π / 2 <θ ≤ π альбо 90º <θ ≤ 180º. Гэта турэмны кут.