Складзіце лічбы ад 1 да N разам

Відэа: Форт Боярд Математиков: Побединский, Wild Mathing, Савватеев, Трушин, Гарвард Оксфорд, Математик МГУ

Задаволены

Крок
Спосаб 1 з 1: Частка другая: Выкарыстанне сумы ад 1 да N, каб знайсці суму двух цэлых лікаў
Парады
Папярэджанні

Цэлыя лікі - цэлыя лікі без дробаў і дзесятковых знакаў. Калі па матэматычнай задачы патрабуецца вылічыць суму шэрагу цэлых лікаў ад 1 да зададзенага значэння N, тады не трэба дадаваць кожнае значэнне ад рукі. Замест гэтага, каб зэканоміць час і сілы, выкарыстоўвайце ўраўненне (N (N + 1)) / 2, дзе N - найбольшая лічба ў серыі.

Крок

Вызначце найбольшае цэлае лік як N. Пры даданні цэлых лікаў ад 1 да зададзенага ліку Н., вы павінны вызначыць сам N як дадатны цэлы лік. N - цэлае лік, таму яно не можа быць дзесятковым лікам або дробам. N таксама не павінна быць адмоўным.
- У якасці прыкладу скажам, што мы хочам скласці ўсе цэлыя лікі ад 1 да 100. У гэтым выпадку 100 - гэта значэнне для N, таму што гэта апошні лік у нашай серыі, альбо, іншымі словамі, найбольшы лік у складанні.
Памножце N (N + 1) і падзяліце на 2. Калі вы вызначылі значэнне N, прымяніце гэта значэнне да ўраўнення (N (N + 1)) / 2. Гэта ўраўненне знаходзіць суму ўсіх цэлых лікаў паміж 1 і N.
- У нашым прыкладзе мы ўводзім у раўнанне 100 - значэнне N. (N (N + 1)) / 2 ператвараецца ў (100 (100 + 1)) / 2.
Разлічыце адказ. Канчатковае значэнне гэтага ўраўнення - гэта сума ўсіх лікаў паміж 1 і N.
- Давайце развяжам гэты прыклад.
  - (100(100 + 1))/2 =
  - (100(101))/2 =
  - (10100)/2 =
  - 5050. Гэта сума ўсіх цэлых лікаў ад 1 да 100 5050.
Зразумець, як атрымліваецца ўраўненне (N (N + 1)) / 2. Зірніце яшчэ раз на ўзор праблемы. Падзяліце гэтую паслядоўнасць 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 на дзве групы - ад 1 да 50 і адну да 51 да 100. Калі дадаць першы нумар у першай групе (1) да апошняга ліку ў другая група (100), вы атрымліваеце 101. Вы атрымліваеце аднолькавы адказ (101) з 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 і г.д. Калі мы дадамо кожны лік у першай групе да адпаведнага ліку ў другой групе, мы атрымаем 50 пар лікаў з аднолькавай сумай: 101. Такім чынам, 50 х 101 = 5050, сума цэлых лікаў ад 1 да 100 Звярніце ўвагу, што 50 - гэта палова 100, а 101 - 100 + 1. На самай справе, гэта назіранне мае месца для сумы любога дадатнага цэлага ліку - даданне кампанентаў можна падзяліць на дзве групы, і лічбы ў гэтых групах могуць быць прызначаныя адзін аднаму такім чынам, каб у кожнай пары была аднолькавая сума. Звярніце ўвагу, што для няцотнай паслядоўнасці цэлых лікаў застаецца адно лік - гэта не ўплывае на канчатковы адказ.
- Увогуле можна сказаць, што для любога ліку N сума лікаў ад 1 да N роўная (N / 2) (N + 1). Спрошчаная форма гэтага ўраўнення (N (N + 1)) / 2, якая ўяўляе сабой суму ўраўнення цэлых лікаў.

Спосаб 1 з 1: Частка другая: Выкарыстанне сумы ад 1 да N, каб знайсці суму двух цэлых лікаў

Вырашыце, дадайце інклюзіўны альбо эксклюзіўны. Часта мэтай з'яўляецца не сумаваць дыяпазон цэлых лікаў ад 1 да зададзенага ліку, але вам будзе прапанавана знайсці суму дыяпазону цэлых лікаў паміж два цэлыя лікі N.₁ і N₂, дзе N₁ > Н.₂ і абодва> 1. Працэс пошуку гэтай сумы адносна просты, але перш чым мы пачнем, нам трэба вырашыць, уключальная ці выключная сума - іншымі словамі, ці з'яўляецца N₁ і N₂ уключае ці толькі цэлыя лікі паміж імі, бо ў гэтых выпадках працэдура некалькі адрозніваецца адна ад адной.
Для вызначэння сумы цэлых лікаў паміж двума лікамі N.₁ і N₂ спачатку вызначаем суму кожнага значэння N асобна і аднімаем яго. Увогуле, вам проста трэба адняць суму меншага значэння N з сумы большага значэння N, каб знайсці адказ. Аднак, як паказана вышэй, важна ведаць, уключае ці выключае гэта дадатак. У тым ліку даданне патрабуе ад значэння N. адняць 1.₂ перад увядзеннем яго ва ўраўненне, у той час як выключнае пералічэнне патрабуе ад значэння N. адняць 1.₁.
- Скажам так уключна сума цэлых лікаў паміж N.₁ = 100 і N₂ = 75. Іншымі словамі, мы павінны знайсці суму шэрагу 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Для гэтага мы бярэм суму цэлых лікаў ад 1 да N₁, і адніміце гэтую суму ад цэлых лікаў ад 1 да N.₂ - 1 (памятайце, што мы дадаем уключна, таму адніміце 1 ад N.₂), і працуйце так:
  - (N₁(N₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1))/2 =
  - (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
  - 5050 - (74(75))/2 =
  - 5050 - 5550/2 =
  - 5050 - 2775 = 2275. Уключная сума цэлых лікаў ад 75 да 100 складае 2275.
- Зараз давайце эксклюзіўны пачаць лічыць. Ураўненне застаецца ранейшым, за выключэннем таго, што ў гэтым выпадку мы аднімаем 1 з N₁ замест Н.₂:
  - ((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(N₂ + 1))/2 =
  - (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
  - (99(100))/2 - (75(76))/2 =
  - 9900/2 – 5700/2 =
  - 4950 - 2850 = 2100. Выключная сума цэлых лікаў ад 75 да 100 складае 2100.
Зразумець, чаму гэты працэс працуе. Разгледзім суму цэлых лікаў ад 1 да 100 як 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 і суму цэлых лікаў ад 1 да 75 як 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 Уключная сума цэлых лікаў ад 75 да 100 азначае 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Сума 1-75 і 1-100 аднолькавая да 75 -– у гэты момант сума 1 -75 "спыняецца" і сума 1 - 100 працягваецца, пры гэтым ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Такім чынам, ад сумы цэлых лікаў ад сумы цэлых лікаў аднімаецца сума цэлых лікаў 1-100 нам магчымасць падзяляць суму цэлых лікаў ад 75-100.
- Аднак, калі мы дадамо ўключна, мы павінны выкарыстоўваць суму 1-74 замест сумы 1-75, каб пераканацца, што 75 уключана ў канчатковую суму.
- Сапраўды гэтак жа, калі дадаваць выключна, мы выкарыстоўваем суму 1-99, а не суму 1-100, каб пераканацца, што 100 не ўваходзіць у суму. Мы можам выкарыстоўваць суму 1-75, таму што, калі адняць гэтую суму ад сумы 1-99, лік 75 будзе выключаны з нашай канчатковай сумы.

Парады

У выніку заўсёды атрымліваецца цэлае лік, бо n або n + 1 цотныя, і таму іх можна падзяліць на 2.
Карацей: SUM (ад 1 да n) = n (n + 1) / 2
SUM (ад a да b) = SUM (ад 1 да b) - SUM (ад 1 да a-1).