Як рабіць матэматычныя доказы

Відэа: ПЕРВЫЙ ОПЫТ И ПЕРВЫЕ ТРУДНОСТИ - SnowRunner

Задаволены

крокі
Метад 1 з 3: Зразумейце ўмова задачы
Метад 2 з 3: Сфармулюйце доказ
Метад 3 з 3: Запішыце доказ
парады

Знаходжанне матэматычнага доказы можа апынуцца няпростай задачай, але вам дапаможа веданне матэматыкі і ўменне аформіць доказ. На жаль, не існуе хуткіх і простых метадаў навучыцца вырашаць матэматычныя задачы. Неабходна як след вывучыць прадмет і запомніць асноўныя тэарэмы і вызначэння, якія спатрэбяцца вам пры доказе таго ці іншага матэматычнага пастулату. Вывучайце прыклады матэматычных доказаў і трэніруйцеся самі - гэта дапаможа вам удасканаліць сваё майстэрства.

крокі

Метад 1 з 3: Зразумейце ўмова задачы

1 Вызначце, што патрабуецца знайсці. Перш за ўсё неабходна высветліць, што менавіта варта даказаць. Апроч іншага, гэтым будзе вызначацца апошняе зацвярджэнне ў вашым доказе. На дадзеным этапе варта таксама зрабіць пэўныя дапушчэнні, у рамках якіх вы будзеце працаваць. Каб лепш зразумець задачу і прыступіць да яе вырашэння, высвятліце, што патрабуецца даказаць, і зрабіце неабходныя здагадкі.
2 Зрабіце малюнак. Пры вырашэнні матэматычных задач часам карысна адлюстраваць іх у выглядзе малюнка або схемы. Гэта асабліва важна ў выпадку геаметрычных задач - малюнак дапамагае наглядна ўявіць ўмова і значна палягчае пошук рашэння.
- Пры стварэнні малюнка або схемы выкарыстоўвайце прыведзеныя ў строгіх дадзеныя. Адзначце на малюнку вядомыя і невядомыя велічыні.
- Малюнак палегчыць вам пошук доказы.
3 Вывучыце доказы падобных тэарэм. Калі вам не атрымоўваецца адразу знайсці рашэнне, знайдзіце падобныя тэарэмы і паглядзіце, як яны даказваюцца.
- Улічыце, што неабходна аргументаваць кожны крок доказы. Паглядзіце, як даказваюцца розныя тэарэмы ў інтэрнэце ці падручніках па матэматыцы.
4 Задавайце пытанні. Нічога страшнага, калі вам не ўдасца адразу ж знайсці доказ.Калі вам нешта незразумела, спытаеце пра гэта настаўніка ці аднакласнікаў. Магчыма, у вашых таварышаў паўсталі тыя ж пытанні, і вы зможаце разабрацца з імі разам. Лепш задаць некалькі пытанняў, чым зноў і зноў беспаспяхова спрабаваць знайсці доказ.
- Падыдзіце да настаўніка пасля ўрокаў і высвятліце ўсе няясныя пытанні.

Метад 2 з 3: Сфармулюйце доказ

1 Сфармулюйце матэматычны доказ. Матэматычным доказам называюць падмацаваную тэарэма і азначэннямі паслядоўнасць сцвярджэнняў, якая даказвае якой-небудзь матэматычны пастулат. Доказы з'яўляюцца адзіным спосабам вызначыць, што тое ці іншае зацвярджэнне дакладна ў матэматычным сэнсе.
- Уменне запісаць матэматычны доказ сведчыць аб глыбокім разуменні задачы і валоданні неабходнымі інструментамі (лема, тэарэма і азначэннямі).
- Строгія доказу дапамогуць вам па-новаму зірнуць на матэматыку і адчуць яе прыцягальную сілу. Проста паспрабуйце даказаць якое-небудзь зацвярджэнне, каб атрымаць уяўленне аб матэматычных метадах.
2 Улічыце сваю аўдыторыю. Перш чым прыступіць да запісу доказы, варта падумаць пра тое, для каго яно прызначана, і ўлічыць ўзровень ведаў гэтых людзей. Калі вы запісваеце доказ для далейшай публікацыі ў навуковым часопісе, яно будзе адрознівацца ад таго выпадку, калі вы выконваеце школьнае заданне.
- Веданне мэтавай аўдыторыі дазволіць вам запісаць доказ з улікам падрыхтоўкі чытачоў, каб яны зразумелі яго.
3 Вызначце тып доказы. Ёсць некалькі відаў матэматычных доказаў, і выбар канкрэтнай формы залежыць ад мэтавай аўдыторыі і развязальнай задачы. Калі вы не ведаеце, які выгляд выбраць, парайцеся са сваім настаўнікам. У старэйшых класах школы патрабуецца афармляць доказы ў дзве калонкі.
- Пры запісе доказы ў дзве калонкі ў адну заносяць зыходныя дадзеныя і сцвярджэнні, а ў другую - адпаведныя доказы гэтых сцвярджэнняў. Такую форму запісу часта выкарыстоўваюць пры вырашэнні геаметрычных задач.
- Пры менш фармальнай запісу доказаў выкарыстоўваюць граматычна правільныя канструкцыі і меншая колькасць знакаў. На больш высокіх узроўнях варта ўжываць менавіта гэты запіс.
4 Зрабіце накід доказы ў выглядзе двух калонак. Такая форма дапамагае упарадкаваць думкі і паслядоўна вырашыць задачу. Падзяліце старонку папалам вертыкальнай лініяй і запішыце зыходныя дадзеныя і якія вынікаюць з іх сцвярджэння ў левай частцы. Справа насупраць кожнага сцвярджэння запішыце адпаведныя вызначэння і тэарэмы.
- напрыклад:
- куты A і B з'яўляюцца сумежнымі - дадзена;
- кут ABC з'яўляецца разгорнутым - вызначэнне разгорнутага вугла;
- велічыня кута ABC складае 180 ° - вызначэнне прамой лініі;
- кут A + кут B = кут ABC - правіла складання кутоў;
- кут A + кут B = 180 ° - падстаноўка;
- кут A з'яўляецца дадатковым да кута B - вызначэнне дадатковых кутоў;
- што і патрабавалася даказаць.
5 Запішыце доказ з двух калонак у выглядзе нефармальнай доказы. Вазьміце за аснову запіс у выглядзе двух калонак і запішыце доказ у больш кароткай форме з меншай колькасцю знакаў і скарачэнняў.
- Напрыклад: выкажам здагадку, што куты А і В з'яўляюцца сумежнымі. Паводле гіпотэзы, гэтыя куты дапаўняюць адзін аднаго. Будучы сумежнымі, кут A і кут B ўтвараюць прамую лінію. Калі бакі кута ўтвараюць прамую лінію, такі кут роўны 180 °. Складзём куты A і B і атрымаем прамую лінію ABC. Такім чынам, сума вуглоў A і B роўная 180 °, гэта значыць гэтыя куты з'яўляюцца дадатковымі. Што і патрабавалася даказаць.

Метад 3 з 3: Запішыце доказ

1 Асвойце мова доказаў. Для запісу матэматычных доказаў выкарыстоўваюць стандартныя зацвярджэння і фразы. Неабходна вывучыць гэтыя фразы і ведаць, як імі карыстацца.
- Фраза "Калі A, то B" азначае, што калі зацвярджэнне А дакладна, то павінна быць верным і зацвярджэнне В.
- "A тады і толькі тады, калі B" азначае, што сцвярджэнні A і B альбо верныя, альбо няслушныя адначасова. Такая канструкцыя эквівалентная двум адначасовым сцвярджэннях: "Калі A, то B" і "Калі A не выконваецца, то не выконваецца і B".
- "A толькі калі B" эквівалентна "Калі В, то А", таму такая канструкцыя сустракаецца нячаста. Тым не менш неабходна памятаць пра яе.
- Пры запісе доказаў старайцеся замест асабістага займеннікі "я" выкарыстоўваць "мы".
2 Запішыце ўсе зыходныя дадзеныя. Пры складанні доказы перш за ўсё варта вызначыць і выпісаць усе, што дадзена ў задачы. У гэтым выпадку вы будзеце мець перад вачыма ўсе зыходныя дадзеныя, на падставе якіх неабходна атрымаць рашэнне. Уважліва прачытайце ўмова задачы і выпішыце ўсе, што ў ім дадзена.
- Напрыклад: дакажыце, што два сумежных кута (кут A і кут B) дапаўняюць адзін аднаго.
- Дадзена: сумежныя куты A і B.
- Даказаць: кут A з'яўляецца дадатковым да кута B.
3 Вызначыце ўсе зменныя. Акрамя запісу зыходных дадзеных карысна таксама выпісаць астатнія зменныя. Каб чытачам было зручней, запішыце зменныя ў самым пачатку доказы. Калі зменныя не вызначаныя, чытач можа заблытацца і не понять ваш доказ.
- Не выкарыстоўвайце падчас доказы нявызначаныя раней зменныя.
- Напрыклад: у разгледжанай вышэй задачы зменнымі з'яўляюцца велічыні вуглоў A і B.
4 Паспрабуйце знайсці доказ ў зваротным парадку. Многія задачы лягчэй вырашаць у зваротнай паслядоўнасці. Пачніце з таго, што патрабуецца даказаць, і падумайце, як можна звязаць высновы з зыходным умовай.
- Перачытайце пачатковыя і канчатковыя крокі і паглядзіце, не падобныя яны адзін на аднаго. Выкарыстоўвайце пры гэтым пачатковыя ўмовы, вызначэння і падобныя доказы з іншых задач.
- Задавайце самому сабе пытанні і прасоўвацца наперад. Каб даказаць асобныя сцвярджэнні, пытайцеся сябе: "Чаму гэта менавіта так?" - і: "Ці можа гэта апынуцца няправільным?"
- Не забывайце паслядоўна запісваць асобныя крокі, пакуль не атрымаеце канчатковы вынік.
- Напрыклад: калі куты A і B з'яўляюцца дадатковымі, іх сума павінна складаць 180 °. Паводле азначэння сумежных кутоў, куты A і B ўтвараюць прамую лінію ABC. Бо лінія ўтварае кут 180 °, у суме куты A і B даюць 180 °.
5 Размесціце асобныя крокі доказы так, каб яно было паслядоўным і лагічным. Пачніце з самага пачатку і прасоўвацца да даказваем тэзе. Хоць часам і карысна пачаць пошук доказы з канца, пры яго запісу неабходна выконваць правільны парадак. Асобныя тэзісы павінны прытрымлівацца адзін за адным, каб доказ было лагічным і не выклікала сумневаў.
- Для пачатку разгледзьце вылучаныя здагадкі.
- Пацвердзіце зробленыя сцвярджэння простымі і відавочнымі крокамі, каб у чытача не ўзнікала сумненняў у іх правільнасці.
- Часам даводзіцца не адзін раз перапісваць доказ. Працягвайце групаваць сцвярджэння і іх доказы датуль, пакуль не даможацеся найбольш лягічнага пабудовы.
- Напрыклад: пачнем з пачатку.
  - Куты A і B з'яўляюцца сумежнымі.
  - Боку кута ABC ўтвараюць прамую лінію.
  - Кут ABC складае 180 °.
  - Кут A + кут B = кут ABC.
  - Кут A + кут B = кут 180 °.
  - Кут A з'яўляецца дадатковым да кута B.
6 Не выкарыстоўвайце ў доказе стрэлачкі і скарачэнні. Пры працы з чарнавым варыянтам можна карыстацца рознымі скарачэннямі і сімваламі, аднак не ўключайце іх у канчатковы чыставога варыянт, бо гэта можа заблытаць чытачоў. Выкарыстоўвайце замест гэтага такія словы, як "такім чынам" і "тады".
- У якасці выключэнняў дапускаюцца зразумелыя скарачэння, напрыклад "т. е. " (Гэта значыць), аднак выкарыстоўвайце іх належным чынам.
7 Пацвярджаеце кожны тэзіс тэарэмай, законам або вызначэннем. Доказ павінна быць бездакорным. Нельга рабіць нічым не падмацаваных сцвярджэнняў. Паглядзіце, як будуюцца доказы задач, падобных з вашай.
- Паспрабуйце ўжыць знойдзенае доказ да выпадкаў, калі яно не павінна выконвацца, і паглядзіце, ці так гэта. Калі доказ падыходзіць і для такіх выпадкаў, праверце, дзе вы дапусцілі памылку.
- Часта доказы геаметрычных задач запісваюцца ў выглядзе двух калонак. Справа пішуцца сцвярджэнні, а злева прыводзяцца іх доказы. У той жа час у публікацыях матэматычныя доказы афармляюцца ў выглядзе абзацаў з адпаведнай граматыкай.
8 Завяршайце доказы фразай "што і патрабавалася даказаць". У канцы доказы павінен стаяць даказваем тэзіс. Пасля яго вынікае напісаць "што і патрабавалася даказаць" (скарочана "ч. Т. Д." Або знак у выглядзе зафарбаванага квадрата) - гэта азначае, што доказ завершана.
- На латыні фразе "што і патрабавалася даказаць" адпавядае абрэвіятура Q.E.D. (quod erat demonstrandum, Гэта значыць "куды ім было трэба паказаць").
- Калі вы сумняваецеся ў правільнасці доказы, проста напішыце некалькі фраз пра тое, да якой высновы вы прыйшлі і чаму ён важны.