Задаволены

• кароткае рэзюмэ
• крокі
• Частка 1 з 3: Праверка «дзялімасці» матрыц
• Частка 2 з 3: Знаходжанне зваротнай матрыцы
• Частка 3 з 3: перамнажэннем матрыц
• парады
• папярэджання
• дадатковыя артыкулы

Калі вы ведаеце, як перамнажаць дзве матрыцы, можна прыступіць да «дзяленню» матрыц. Слова «дзяленне» складзена ў двукоссі, таму што на самой справе матрыцы дзяліць нельга. Аперацыя дзялення замяняецца аперацыяй множання адной матрыца на матрыцу, якая адваротная другі матрыцы. Для прастаты разгледзім прыклад з цэлымі лікамі: 10 ÷ 5. Знойдзем лік, адваротнае 5: 5 ці /₅, А затым дзяленне заменім памнажэннем: 10 x 5; пры гэтым вынік дзялення і множання будзе адным і тым жа. Таму лічыцца, што дзяленне можна замяніць памнажэннем на адваротны матрыцу. Як правіла, такія вылічэнні прымяняюцца для вырашэння сістэм лінейных ураўненняў.

кароткае рэзюмэ

1. Дзяліць матрыцы нельга. Замест дзялення адну матрыцу памнажаюць на матрыцу, зваротную другі матрыцы. «Дзяленне» двух матрыц [A] ÷ [B] запісваецца так: [A] * [B] або [B] * [A].
2. Калі матрыца [B] не з'яўляецца квадратнай або калі яе вызначальнік роўны 0, запішыце «адназначнага рашэння няма». У адваротным выпадку знайдзіце вызначальнік матрыцы [B] і перайдзіце да наступнага кроку.
3. Знайдзіце зваротную матрыцу: [B].
4. Перемножьте матрыцы, каб знайсці [A] * [B] або [B] * [A]. Майце на ўвазе, што парадак перамнажэннем матрыц ўплывае на канчатковы вынік (гэта значыць вынікі могуць быць рознымі).

крокі

Частка 1 з 3: Праверка «дзялімасці» матрыц

1. 1 Разбярыцеся з «дзяленнем» матрыц. На самай справе матрыцы дзяліць нельга. Няма такой матэматычнай аперацыі, як «дзяленне адной матрыцы на іншую». Дзяленне замяняецца памнажэннем адной матрыцы на матрыцу, зваротную другі матрыцы. Гэта значыць запіс [A] ÷ [B] не дакладная, таму яе замяняюць такім запісам: [A] * [B]. Бо абедзве запісы з'яўляюцца раўназначнымі ў выпадку скалярных велічынь, тэарэтычна можна казаць пра «дзяленні» матрыц, але ўсё-ткі лепш карыстацца правільнай тэрміналогіяй.
   • Звярніце ўвагу, што [A] * [B] і [B] * [A] - гэта розныя аперацыі. Можа быць, прыйдзецца выканаць абедзве аперацыі, каб знайсці ўсе магчымыя рашэнні.
   • Напрыклад, замест ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ запішыце ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1}}$.
     Магчыма, прыйдзецца вылічыць ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$, Каб атрымаць іншы вынік.
2. 2 Пераканайцеся, што матрыца, на якую вы "дзеліце» іншую матрыцу, з'яўляецца квадратнай. Каб інвертаваць матрыцу (знайсці зваротную матрыцу), яна павінна быць квадратнай, гэта значыць з аднолькавым колькасцю радкоў і слупкоў. Калі инвертируемая матрыца не з'яўляецца зваротнай, адназначнага рашэння няма.
   • Зноў жа, тут матрыцы не «дзеляцца». У аперацыі [A] * [B] апісанае ўмова ставіцца да матрыцы [B]. У нашым прыкладзе гэта ўмова ставіцца да матрыцы ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
   • Матрыца, якую можна інвертаваць, называецца незвыроднае або рэгулярнай. Матрыца, якую нельга інвертаваць, называецца выраджаных або сінгулярнасць.
3. 3 Праверце, ці можна перамнажаць дзве матрыцы. Каб перамнажаць дзве матрыцы, колькасць слупкоў першай матрыцы павінна раўняцца колькасці радкоў другі матрыцы. Калі гэта ўмова не выконваецца ў запісе [A] * [B] або [B] * [A], рашэння няма.
   • Напрыклад, калі памер матрыцы [А] роўны 4 х 3, а памер матрыцы [B] роўны 2 х 2, рашэння няма. Нельга перамнажаць [A] * [B], таму што 4 ≠ 2, і нельга перамнажаць [B] * [A], бо 2 ≠ 3.
   • Звярніце ўвагу, што ў зваротнай матрыцы [B] заўсёды тое ж колькасць радкоў і слупкоў, што і ў зыходнай матрыцы [B]. Няма неабходнасці знаходзіць зваротную матрыцу, каб праверыць, што дзве матрыцы можна перамнажаць.
   • У нашым прыкладзе памер абедзвюх матрыц 2 х 2, таму іх можна перамнажаць у любым парадку.
4. 4 Знайдзіце вызначальнік матрыцы 2 × 2. Запомніце: інвертаваць матрыцу можна толькі ў тым выпадку, калі яе вызначальнік ня роўны нулю (у адваротным выпадку інвертаваць матрыцу нельга). Вось як знайсці вызначальнік матрыцы 2 х 2:
   • Матрыца 2 х 2: вызначальнік матрыцы ${ Displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ роўны ad - bc. Гэта значыць з твора элементаў галоўнай дыяганалі (праходзіць праз верхні левы і ніжні правы куты) Вылічаная творы элементаў іншы дыяганалі (праходзіць праз верхні правы і ніжні левы куты).
   • Напрыклад, вызначальнік матрыцы ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ роўны (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Вызначальнік выдатны ад нуля, таму гэтую матрыцу можна інвертаваць.
5. 5 Знайдзіце вызначальнік большай матрыцы. Калі памер матрыцы роўны 3 х 3 ці больш, вылічэнне вызначальніка трохі ўскладняецца.
   • Матрыца 3 х 3: Абярыце любы элемент і Закрэсліце радок і слупок, у якіх ён знаходзіцца.Знайдзіце вызначальнік атрыманае матрыцы 2 × 2, а затым памножце яго на абраны элемент; знак вызначальніка удакладніце ў спецыяльнай табліцы. Паўтарыце апісаны працэс для двух іншых элементаў, якія знаходзяцца ў адным радку ці слупкі з абраным элементам. Затым знайдзіце суму атрыманых (трох) вызначальнікаў. Прачытайце гэты артыкул, каб атрымаць дадатковую інфармацыю аб тым, як знаходзіць вызначальнік матрыцы 3 х 3.
   • вялікія матрыцы: Вызначальнік такіх матрыц лепш шукаць пры дапамозе графічнага калькулятара або праграмнага забеспячэння. Метад аналагічны метаду знаходжання вызначальніка матрыцы 3 × 3, але прымяняць яго ўручную даволі стомна. Напрыклад, каб знайсці вызначальнік матрыцы 4 х 4, трэба знайсці вызначальнікі чатырох матрыц 3 х 3.
6. 6 Працягнеце вылічэнні. Калі матрыца не з'яўляецца квадратнай або калі яе вызначальнік роўны нулю, напішыце «адназначнага рашэння няма», гэта значыць працэс вылічэнні завершаны. Калі ж матрыца з'яўляецца квадратнай і яе вызначальнік ня роўны нулю, перайдзіце да наступнага падзелу.

Частка 2 з 3: Знаходжанне зваротнай матрыцы

1. 1 Памяняйце месцамі элементы галоўнай дыяганалі матрыцы 2 х 2. Калі дадзена матрыца 2 × 2, скарыстайцеся хуткім метадам знаходжання зваротнай матрыцы. Для пачатку памяняйце месцамі верхні левы элемент і ніжні правы элемент. напрыклад:
   • ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
   • Заўвага: большасць людзей карыстаецца калькулятарамі, каб інвертаваць матрыцу 3 х 3 (або большага памеру). Калі трэба зрабіць гэта ўручную, перайдзіце ў канец гэтага падзелу.
2. 2 Тыя, што засталіся два элемента месцамі не мяняйце, але зменіце іх знак. Гэта значыць верхні правы элемент і ніжні левы элемент памножце на -1:
   • ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3. 3 Знайдзіце лік, адваротнае значэнні вызначальніка. Вызначальнік гэтай матрыцы быў знойдзены ў папярэднім раздзеле, таму не будзем вылічаць яго яшчэ раз. Адваротнае значэнне вызначальніка запісваецца так: 1 / (вызначальнік):
   • У нашым прыкладзе вызначальнік роўны 13. Адваротнае значэнне: ${ Displaystyle { frac {1} {13}}}$.
4. 4 Атрыманую матрыцу памножце на адваротнае значэнне вызначальніка. Кожны элемент новай матрыцы памножце на адваротнае значэнне вызначальніка. Канчатковая матрыца будзе адваротная зыходнай матрыцы 2 х 2:
   • ${ Displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
     =${ Displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5. 5 Праверце правільнасць вылічэнняў. Для гэтага памножце зыходную матрыцу на адваротны. Калі вылічэнні правільныя, твор зыходнай матрыцы на адваротны дасць адзінкавую матрыцу: ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$. Калі праверка прайшла паспяхова, перайдзіце да наступнага падзелу.
   • У нашым выпадку: ${ Displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$.
   • Каб атрымаць дадатковую інфармацыю аб тым, як перамнажаць матрыцы, прачытайце гэты артыкул.
   • Заўвага: аперацыя перамнажэннем матрыц не з'яўляецца коммутативной, то ёсць важны парадак размяшчэння матрыц. Але пры памнажэньні зыходнай матрыцы на адваротны любы парадак прыводзіць да адзінкавай матрыцы.
6. 6 Знайдзіце зваротную матрыцу для матрыцы 3 х 3 (Або большага памеру). Калі вы ўжо знаёмыя з гэтым працэсам, лепш скарыстацца графічным калькулятарам ці адмысловым праграмным забеспячэннем. Калі трэба знайсці зваротную матрыцу ўручную, ніжэй прыводзіцца кароткае апісанне працэсу:
   • Далучыце адзінкавую матрыцу I з правага боку зыходнай матрыцы. Напрыклад, [B] → [B | I]. У адзінкавай матрыцы ўсе элементы галоўнай дыяганалі роўныя 1, а ўсе астатнія элементы роўныя 0.
   • Спросціце матрыцу так, каб прывесці яе левы бок да ступеністаму ўвазе; працягнеце спрашчэнне, каб левы бок ператварылася ў адзіную матрыцу.
   • Пасля спрашчэння матрыца прыме наступны выгляд: [I | B]. Гэта значыць яе правая бок з'яўляецца матрыцай, зваротнай зыходнай матрыцы.

Частка 3 з 3: перамнажэннем матрыц

1. 1 Запішыце два магчымых выразы. Аперацыя множання двух скаляраў коммутативна, гэта значыць 2 х 6 = 6 х 2.Гэта не так у выпадку множання матрыц, таму, магчыма, прыйдзецца вырашыць два выразы:
   • x = [A] * [B] - гэта рашэнне раўнання x[B] = [A].
   • x = [B] * [A] - гэта рашэнне раўнання [B]x = [A].
   • Кожную матэматычную аперацыю выконвайце з абодвух бакоў ўраўненні. Калі [A] = [C], то [B] [A] ≠ [C] [B], таму што [B] знаходзіцца злева ад [A], але справа ад [C].
2. 2 Вызначце памер канчатковай матрыцы. Памер канчатковай матрыцы залежыць ад памераў перамнажаюцца матрыц. Колькасць радкоў канчатковай матрыцы роўна колькасці радкоў першай матрыцы, а колькасць слупкоў канчатковай матрыцы роўна колькасці слупкоў другі матрыцы.
   • У нашым прыкладзе памер абедзвюх матрыц ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ і ${ Displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ роўны 2 х 2, таму памер зыходнай матрыцы будзе 2 х 2.
   • Разгледзім больш складаны прыклад: калі памер матрыцы [A] роўны 4 х 3, а памер матрыцы [B] роўны 3 x 3, То канчатковая матрыца [A] * [B] будзе мець памер 4 х 3.
3. 3 Знайдзіце значэнне першага элемента. Прачытайце гэтую артыкул або ўспомніце наступныя асноўныя дзеянні:
   • Каб знайсці першы элемент (першы радок, першы слупок) канчатковай матрыцы [A] [B], вылічыце скалярны твор элементаў першага радка матрыцы [A] і элементаў першага слупка матрыцы [B]. У выпадку матрыцы 2 x 2 скалярны твор вылічаецца так: ${ Displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$.
   • У нашым выпадку: ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$. Такім чынам, першым элементам канчатковай матрыцы будзе элемент:
     ${ Displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
     ${ Displaystyle = 3 + -4}$
     ${ Displaystyle = -1}$
4. 4 Працягнеце вылічаць скалярныя творы, каб знайсці кожны элемент канчатковай матрыцы. Напрыклад, элемент, размешчаны ў другой радку і першым слупку, роўны скалярны твор другога радка матрыцы [A] і першага слупка матрыцы [B]. Паспрабуйце самастойна знайсці пакінутыя элементы. Вы павінны атрымаць наступныя вынікі:
   • ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
   • Калі трэба знайсці іншае рашэнне: ${ Displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 end {pmatrix}}}$

парады

• Матрыцу можна падзяліць на скаляр; для гэтага кожны элемент матрыцы дзеліцца на скаляр.
  • Напрыклад, калі матрыцу ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ падзяліць на 2, атрымаецца матрыца ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

папярэджання

• Калькулятар не заўсёды дае абсалютна дакладныя вынікі, калі справа тычыцца матрычных вылічэнняў. Напрыклад, калі калькулятар сцвярджае, што элемент з'яўляецца вельмі малым лікам (такім як 2E), хутчэй за ўсё, значэнне роўна нулю.

дадатковыя артыкулы

Какумножать матрыцы Какнайти зваротную матрыцу 3х3 Какнайти вызначальнік матрыцы 3х3 Какнайти максімум або мінімум квадратычнай функцыі Каквычислить частату Какрешать квадратныя ўраўненні Какизмерить рост без мернай стужкі Какнайти квадратны корань ліку ўручную Какперевести мілілітраў ў грамы Какпереводить з двайковай сістэмы ў дзесятковую Каквычислить значэнне Пі Какпереводить з дзесятковай сістэмы злічэння ў двойкавую Каквычислить верагоднасць Какперевести хвіліны ў гадзіны