Задаволены

• крокі
• Метад 1 з 3: Як знайсці невядомую бок
• Метад 2 з 3: Як знайсці невядомы кут
• Метад 3 з 3: Прыклады задач
• парады

Тэарэма косінус шырока ўжываецца ў трыганаметрыі. Яе выкарыстоўваюць пры працы з няправільнымі трыкутнікамі, каб знаходзіць невядомыя велічыні, напрыклад боку і куты. Тэарэма падобная з тэарэма Піфагора, і яе даволі лёгка запомніць. Тэарэма косінус абвяшчае, што ў любым трыкутніку ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

крокі

Метад 1 з 3: Як знайсці невядомую бок

1. 1 Запішыце вядомыя велічыні. Каб знайсці невядомую бок трыкутніка, трэба ведаць дзве іншыя боку і кут паміж імі.
   • Напрыклад, дадзены трохкутнік XYZ. Бок YX роўная 5 см, бок YZ роўная 9 см, а кут Y роўны 89 °. Чаму роўная бок XZ?
2. 2 Запішыце формулу тэарэмы косінус. формула: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, дзе ${ Displaystyle c}$ - невядомая бок, ${ Displaystyle cos {C}}$ - косінус кута, процілеглага невядомай баку, ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$ - дзве вядомыя боку.
3. 3 Падстаўце вядомыя значэння ў формулу. зменныя ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$ пазначаюць дзве вядомыя боку. пераменная ${ Displaystyle C}$ - гэта вядомы кут, які ляжыць паміж бакамі ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$.
   • У нашым прыкладзе бок XZ невядомая, таму ў формуле яна пазначаная як ${ Displaystyle c}$. Таму што бакі YX і YZ вядомыя, яны пазначаныя зменнымі ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$. пераменная ${ Displaystyle C}$ - гэта кут Y. Такім чынам, формула запішацца наступным чынам: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Знайдзіце косінус вядомага кута. Зрабіце гэта з дапамогай калькулятара. Калі ласка, увядзіце значэнне кута, а затым націсніце кнопку ${ Displaystyle COS}$. Калі ў вас няма навуковага калькулятара, знайдзіце онлайн-табліцу значэнняў косінус, напрыклад, тут. Таксама ў Яндэксе можна ўвесці «косінус Х градусаў» (замест X падстаўце значэнне кута), і пошукавая сістэма адлюструе косінус кута.
   • Напрыклад, косінус 89 ° ≈ 0,01745. Такім чынам: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Перемножьте колькасці. памножце ${ Displaystyle 2ab}$ на косінус вядомага кута.
   • напрыклад:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Складзеце квадраты вядомых бакоў. Памятаеце, каб узвесці лік у квадрат, яго трэба памножыць на само сябе. Спачатку узьвядзеце ў квадрат адпаведныя чысла, а затым складзеце атрыманыя значэння.
   • напрыклад:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1,5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
7. 7 Вылічаная два ліку. вы знойдзеце ${ Displaystyle c ^ {2}}$.
   • напрыклад:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
8. 8 Выміце квадратны корань з атрыманага значэння. Для гэтага скарыстайцеся калькулятарам. Дык вы знойдзеце невядомую бок.
   • напрыклад:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104,4293}}}$
     ${ Displaystyle c = 10,2191}$
     Такім чынам, невядомая бок роўная 10,2191 см.

Метад 2 з 3: Як знайсці невядомы кут

1. 1 Запішыце вядомыя велічыні. Каб знайсці невядомы кут трыкутніка, трэба ведаць усе тры бакі трыкутніка.
   • Напрыклад, дадзены трохкутнік RST. Бок СР = 8 см, ST = 10 см, РТ = 12 см. Знайдзіце значэнне кута S.
2. 2 Запішыце формулу тэарэмы косінус. формула: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, дзе ${ Displaystyle cos {C}}$ - косінус невядомага кута, ${ Displaystyle c}$ - вядомая бок, што насупраць невядомаму куце, ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$ - дзве іншыя вядомыя боку.
3. 3 Знайдзіце значэння a{ Displaystyle a}, b{ Displaystyle b} і c{ Displaystyle c}. Затым падстаўце іх у формулу.
   • Напрыклад, бок RT процілеглая невядомаму куце S, таму бок RT - гэта ${ Displaystyle c}$ у формуле. Іншыя бакі будуць ${ Displaystyle a}$ і ${ Displaystyle b}$. Такім чынам, формула запішацца наступным чынам: ${ Displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Перемножьте колькасці. памножце ${ Displaystyle 2ab}$ на косінус невядомага кута.
   • напрыклад, ${ Displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 узьвядзеце c{ Displaystyle c} у квадрат. Гэта значыць памножце лік само сябе.
   • напрыклад, ${ Displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 складзеце квадраты a{ Displaystyle a} і b{ Displaystyle b}. Але спачатку узьвядзеце адпаведныя лікі ў квадрат.
   • напрыклад:
     ${ Displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Ізалюе косінус невядомага кута. Для гэтага Вылічаная суму ${ Displaystyle a ^ {2}}$ і ${ Displaystyle b ^ {2}}$ з абедзвюх частак ўраўненні. Затым падзеліце кожную частку ўраўненні на каэфіцыент (множнік) пры косінус невядомага кута.
   • Напрыклад, каб ізаляваць косінус невядомага кута, Вылічаная 164 з абодвух бакоў ўраўненні, а затым падзеліце кожны бок на -160:
     ${ Displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ Displaystyle 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Вылічыце арккосінуса. Дык вы знойдзеце значэнне невядомага кута. На калькулятары функцыя арккосінуса пазначаецца ${ Displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Напрыклад, арккосінуса 0,0125 роўны 82,8192. Такім чынам, кут S роўны 82,8192 °.

Метад 3 з 3: Прыклады задач

1. 1 Знайдзіце невядомую бок трыкутніка. Вядомыя бакі роўныя 20 см і 17 см, а кут паміж імі роўны 68 ​​°.
   • Так як дадзены два бакі і кут паміж імі, можна выкарыстоўваць тэарэму косінус. Запішыце формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Невядомая бок - гэта ${ Displaystyle c}$. Падстаўце вядомыя значэння ў формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Вылічыце ${ Displaystyle c ^ {2}}$, Выконваючы парадак матэматычных аперацый:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254,7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254,7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 434,2675}$
   • Выміце квадратны корань з абедзвюх частак ўраўненні. Дык вы знойдзеце невядомую бок:
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434,2675}}}$
     ${ Displaystyle c = 20,8391}$
     Такім чынам, невядомая бок роўная 20,8391 см.
2. 2 Знайдзіце кут H ў трыкутніку GHI. Два бакі, прылеглыя да кута Н, роўныя 22 і 16 см. Бок, супрацьлеглая куце H, роўная 13 см.
   • Так як дадзеныя ўсе тры бакі, можна выкарыстоўваць тэарэму косінус. Запішыце формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Бок, супрацьлеглая невядомаму куце, - гэта ${ Displaystyle c}$. Падстаўце вядомыя значэння ў формулу: ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Спросціце атрыманае выраз:
     ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256-704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 484 + 256-704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Ізалюе косінус:
     ${ Displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ Displaystyle 0,8111 = cos {C}}$
   • Знайдзіце арккосінуса. Так вы вылічыце невядомы кут:
     ${ Displaystyle 0,8111 = cos {C}}$
     ${ Displaystyle 35,7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Такім чынам, кут H роўны 35,7985 °.
3. 3 Знайдзіце даўжыню сцежкі. Рачная, Узгоркаватая і Балотная сцежкі ўтвараюць трохкутнік. Даўжыня Рачны сцежкі - 3 км, даўжыня пагорыстай сцежкі - 5 км; гэтыя сцежкі перасякаюцца адзін з адным пад вуглом 135 °. Балотная сцежка злучае два канцы іншых сцежак. Знайдзіце даўжыню Балотнай сцежкі.
   • Сцежкі ўтвараюць трохкутнік. Трэба знайсці даўжыню невядомай сцежкі, якая ўяўляе сабой бок трыкутніка. Так як дадзены даўжыні двух іншых сцежак і кут паміж імі, можна выкарыстоўваць тэарэму косінус.
   • Запішыце формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Невядомую сцежку (Балотную) пазначым як ${ Displaystyle c}$. Падстаўце вядомыя значэння ў формулу: ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Вылічыце ${ Displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0,7071)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21,2132)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21,2132}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 55,2132}$
   • Выміце квадратны корань з абодвух бакоў ўраўненні. Дык вы знойдзеце даўжыню невядомай сцежкі:
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55,2132}}}$
     ${ Displaystyle c = 7,4306}$
     Такім чынам, даўжыня Балотнай сцежкі роўная 7,4306 км.

парады

• Прасцей карыстацца тэарэмай сінусам. Таму спачатку высвятліце, ці можна прымяніць яе да дадзенай задачы.