Задаволены

• крокі
• Метад 1 з 3: Як вырашыць кубічных раўнанне без вольнага члена
• Метад 2 з 3: Як знайсці цэлыя карані з дапамогай множнікаў
• Метад 3 з 3: Як вырашыць раўнанне з дапамогай дискриминанта

У кубічным раўнанні найвышэйшым паказчыкам ступені з'яўляецца 3, у такога ўраўненні 3 кораня (рашэння) і яно мае выгляд ${ Displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$. Некаторыя кубічныя ўраўненні не так проста вырашыць, але калі ўжыць правільны метад (пры добрай тэарэтычнай падрыхтоўцы), можна знайсці карані нават самага складанага кубічнага раўнання - для гэтага скарыстайцеся формулай для вырашэння квадратнага ўраўнення, знайдзіце цэлыя карані або вылічыце дискриминант.

крокі

Метад 1 з 3: Як вырашыць кубічных раўнанне без вольнага члена

1. 1 Высветліце, ці ёсць у кубічным раўнанні свабодны член d{ Displaystyle d}. Кубічных раўнанне мае выгляд ${ Displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$. Каб раўнанне лічылася кубічных, дастаткова, каб у ім прысутнічаў толькі член ${ Displaystyle x ^ {3}}$ (Гэта значыць іншых членаў можа наогул не быць).
   • Калі ў раўнанні ёсць свабодны член ${ Displaystyle d}$, Скарыстайцеся іншым метадам.
   • Калі ў раўнанні ${ Displaystyle a = 0}$, Яно не з'яўляецца кубічных.
2. 2 Вынесіце за дужкі x{ Displaystyle x}. Бо ў раўнанні няма вольнага члена, кожны член ўраўненні ўключае зменную ${ Displaystyle x}$. Гэта азначае, што адзін ${ Displaystyle x}$ можна вынесці за дужкі, каб спрасціць раўнанне. Такім чынам, раўнанне запішацца так: ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Напрыклад, дадзена кубічных раўнанне ${ Displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • вынесіце ${ Displaystyle x}$ за дужкі і атрымаеце ${ Displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Раскладзеце на множнікі (на твор двух Біном) квадратнае раўнанне (калі магчыма). Многія квадратныя ўраўненні віду ${ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ можна раскласці на множнікі. Такое раўнанне атрымаецца, калі вынесці ${ Displaystyle x}$ за дужкі. У нашым выпадку:
   • Вынесіце за дужкі ${ Displaystyle x}$: ${ Displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Раскладзеце на множнікі квадратнае ўраўненне: ${ Displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Кожны біном прыраўнялі да ${ Displaystyle 0}$. Каранямі дадзенага раўнання з'яўляюцца ${ Displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Вырашыце квадратнае раўнанне з дапамогай адмысловай формулы. Зрабіце гэта, калі квадратнае раўнанне нельга раскласці на множнікі. Каб знайсці два кораня раўнання, значэнні каэфіцыентаў ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ падстаўце ў формулу ${ Displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • У нашым прыкладзе падстаўце значэння каэфіцыентаў ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ (${ Displaystyle 3}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ Displaystyle 14}$) У формулу:

     ${ Displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ Displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ Displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ Displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ Displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Першы корань:

     ${ Displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ Displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Другі корань:

     ${ Displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Выкарыстоўвайце нуль і карані квадратнага ўраўненні ў якасці рашэнняў кубічнага раўнання. У квадратных ураўненняў два кораня, а ў кубічных - тры. Два рашэнні вы ўжо знайшлі - гэта карані квадратнага ўраўнення. Калі ж вы вынеслі «х» за дужкі, трэцім рашэннем будзе ${ Displaystyle 0}$.
   • Калі вынесці «х» за дужкі, атрымаецца ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, То ёсць два множніка: ${ Displaystyle x}$ і квадратнае раўнанне ў дужках. Калі любы з гэтых множнікаў роўны ${ Displaystyle 0}$, Усё раўнанне таксама роўна ${ Displaystyle 0}$.
   • Такім чынам, два кораня квадратнага ўраўнення, з'яўляюцца рашэннямі кубічнага раўнання. Трэцім рашэннем з'яўляецца ${ Displaystyle x = 0}$.

Метад 2 з 3: Як знайсці цэлыя карані з дапамогай множнікаў

1. 1 Пераканайцеся, што ў кубічным раўнанні ёсць свабодны член d{ Displaystyle d}. Калі ў раўнанні выгляду ${ Displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ ёсць свабодны член ${ Displaystyle d}$ (Які ня роўны нулю), вынесці «х» за дужкі не атрымаецца. У дадзеным выпадку скарыстайцеся метадам, выкладзеных у гэтым раздзеле.
   • Напрыклад, дадзена кубічных раўнанне ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$. Каб на правай баку ўраўненні атрымаць нуль, патрэбна дадаць ${ Displaystyle 6}$ да абодвух бакоў ўраўненні.
   • атрымаецца раўнанне ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$. так як ${ Displaystyle d = 6}$, Метадам, які выкладзены ў першым раздзеле, скарыстацца не атрымаецца.
2. 2 Выпішыце множнікі каэфіцыента a{ Displaystyle a} і вольнага члена d{ Displaystyle d}. Гэта значыць знайдзіце множнікі колькасці пры ${ Displaystyle x ^ {3}}$ і лікі перад знакам роўнасці. Нагадаем, што множнік колькасці з'яўляюцца колькасці, пры перамнажэннем якіх атрымліваецца гэты лік.
   • Да прыкладу, каб атрымаць лік 6, Трэба перамнажаць ${ Displaystyle 6 times 1}$ і ${ Displaystyle 2 times 3}$. Такім чынам, колькасці 1, 2, 3, 6 з'яўляюцца множнікам колькасці 6.
   • У нашым раўнанні ${ Displaystyle a = 2}$ і ${ Displaystyle d = 6}$. множнік 2 з'яўляюцца 1 і 2. множнік 6 з'яўляюцца колькасці 1, 2, 3 і 6.
3. 3 Падзяліце кожны множнік a{ Displaystyle a} на кожны множнік d{ Displaystyle d}. У выніку атрымаецца мноства дробаў і некалькі цэлых лікаў; каранямі кубічнага раўнання будзе адно з цэлых лікаў ці адмоўнае значэнне аднаго з цэлых лікаў.
   • У нашым прыкладзе падзеліце множнікі ${ Displaystyle a}$ (1 і 2) На множнікі ${ Displaystyle d}$ (1, 2, 3 і 6). Вы атрымаеце: ${ Displaystyle 1}$, ${ Displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$ і ${ Displaystyle { frac {2} {3}}}$. Зараз у гэты спіс дадайце адмоўныя значэння атрыманых дробаў і лікаў: ${ Displaystyle 1}$, ${ Displaystyle -1}$, ${ Displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ Displaystyle { frac {2} {3}}}$ і ${ Displaystyle - { frac {2} {3}}}$. Цэлымі каранямі кубічнага раўнання з'яўляюцца нейкія колькасці з гэтага спісу.
4. 4 Падстаўце цэлыя лікі ў кубічных раўнанне. Калі пры гэтым роўнасць выконваецца, падстаўленыя лік з'яўляецца коранем ўраўненні. Напрыклад, падстаўце ў раўнанне ${ Displaystyle 1}$:
   • ${ Displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ Displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, то ёсць роўнасць не выконваецца. У дадзеным выпадку падстаўце наступнае лік.
   • падстаўце ${ Displaystyle -1}$: ${ Displaystyle (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0. Такім чынам, ${ Displaystyle -1}$ з'яўляецца цэлым коранем ўраўненні.
5. 5 Скарыстайцеся метадам дзялення мнагачлена па схеме Горнера, Каб хутчэй знайсці карані ўраўненні. Зрабіце гэта, калі не хочаце ўручную падстаўляць колькасці ў раўнанне. У схеме Горнера цэлыя лікі дзеляцца на значэнні каэфіцыентаў ўраўненні ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ і ${ Displaystyle d}$. Калі лікі дзеляцца нацэлілася (гэта значыць рэшту роўны ${ Displaystyle 0}$), Цэлы лік з'яўляецца коранем ўраўненні.
   • Схема Горнера заслугоўвае асобнага артыкула, але далей прыведзены прыклад вылічэнні аднаго з каранёў нашага кубічнага раўнання з дапамогай гэтай схемы:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Такім чынам, рэшта роўны ${ Displaystyle 0}$, а ${ Displaystyle -1}$ з'яўляецца адным з каранёў ўраўненні.

Метад 3 з 3: Як вырашыць раўнанне з дапамогай дискриминанта

1. 1 Выпішыце значэння каэфіцыентаў ўраўненні a{ Displaystyle a}, b{ Displaystyle b}, c{ Displaystyle c} і d{ Displaystyle d}. Рэкамендуем загадзя выпісаць значэння названых каэфіцыентаў, каб у далейшым не заблытацца.
   • Напрыклад, дадзена раўнанне ${ Displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$. запішыце ${ Displaystyle a = 1}$, ${ Displaystyle b = -3}$, ${ Displaystyle c = 3}$ і ${ Displaystyle d = -1}$. Нагадаем, што калі перад ${ Displaystyle x}$ ліку няма, адпаведны каэфіцыент усё-такі існуе і роўны ${ Displaystyle 1}$.
2. 2 Вылічыце нулявы дискриминант па спецыяльнай формуле. Каб вырашыць кубічных ураўненне з дапамогай дискриминанта, трэба вырабіць шэраг няпростых вылічэнняў, але калі правільна выконваць усе дзеянні, гэты метад стане незаменным для вырашэння найбольш складаных кубічных раўнанняў. спачатку вылічыце ${ Displaystyle Delta _ {0}}$ (Нулявы дискриминант) - гэта першая неабходная нам велічыня; для гэтага падстаўце адпаведныя значэння ў формулу ${ Displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Дискриминант - гэта лік, якое характарызуе карані полинома (напрыклад, дискриминант квадратнага ўраўнення вылічаецца па формуле ${ Displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • У нашым раўнанні:

     ${ Displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ Displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 09/09 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Вылічыце першы дискриминант па формуле Δ1=2b3−9abc+27a2d{ Displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. першы дискриминант ${ Displaystyle Delta _ {1}}$ - гэта другая важная велічыня; каб яе вылічыць, падстаўце адпаведныя значэння ў паказаную формулу.
   • У нашым раўнанні:

     ${ Displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ Displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ Displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ Displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Вылічыце:${ Displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$. Гэта значыць знайдзіце дискриминант кубічнага раўнання праз атрыманыя значэнні ${ Displaystyle Delta _ {0}}$ і ${ Displaystyle Delta _ {1}}$. Калі дискриминант кубічнага раўнання станоўчы, у ўраўненні тры кораня; калі дискриминант роўны нулю, у ўраўненні адзін ці два кораня; калі ж дискриминант адмоўны, у ўраўненні адзін корань.
   • У кубічнага раўнання заўсёды ёсць хаця б адзін корань, так як графік гэтага раўнання перасякаецца з воссю X як мінімум у адным пункце.
   • У нашым раўнанні ${ Displaystyle Delta _ {0}}$ і ${ Displaystyle Delta _ {1}}$ роўныя ${ Displaystyle 0}$, Таму вы папросту вылічыце ${ Displaystyle Delta}$:

     ${ Displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ Displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ Displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ Displaystyle 0 = Delta}$. Такім чынам у нашага ўраўненні адзін ці два кораня.

5. 5 Вылічыце:${ Displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } right) div 2}}}$. ${ Displaystyle C}$ - гэта апошняя важная велічыня, якую трэба знайсці; з яе дапамогай вы вылічыце карані ўраўненні. У пазначаную формулу падстаўце значэння ${ Displaystyle Delta _ {1}}$ і ${ Displaystyle Delta _ {0}}$.
   • У нашым раўнанні:

     ${ Displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ Displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ Displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ Displaystyle 0 = C}$

6. 6 Знайдзіце тры кораня ўраўненні. Зрабіце гэта па формуле ${ Displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, дзе ${ Displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, а n роўны 1, 2 або 3. Падстаўце ў гэтую формулу адпаведныя значэння - у выніку вы атрымаеце тры кораня ўраўненні.
   • Вылічыце значэнне па формуле пры n = 1, 2 або 3, А затым праверце адказ. Калі пры праверцы адказу вы атрымалі 0, дадзенае значэнне з'яўляецца коранем ўраўненні.
   • У нашым прыкладзе падстаўце 1 у ${ Displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ і атрымаеце 0, гэта значыць 1 - гэта адзін з каранёў ўраўненні.