Задаволены

• крокі
• Частка 1 з 4: Як запісаць раўнанне
• Частка 2 з 4: Як запісаць алгарытм Эўкліда
• Частка 3 з 4: Як знайсці рашэнне з дапамогай алгарытму Еўкліда
• Частка 4 з 4: Як знайсці бясконцае мноства іншых рашэнняў

Каб вырашыць лінейнае диофантово раўнанне, трэба знайсці значэння зменных «x» і «y», якія з'яўляюцца цэлымі лікамі. Цэлалікавых рашэнне складаней звычайнага і патрабуе пэўнага набору дзеянняў. Спачатку неабходна вылічыць найбольшы агульны дзельнік (Нод) каэфіцыентаў, а затым знайсці рашэнне. Калі вы знайшлі адно цэлалікавых рашэнне лінейнага ўраўненні, можна ўжыць просты шаблон, каб знайсці бясконцае мноства іншых рашэнняў.

крокі

Частка 1 з 4: Як запісаць раўнанне

1. 1 Запішыце раўнанне ў стандартнай форме. Лінейнае раўнанне - гэта раўнанне, у якім паказчыкі ступені зменных не перавышаюць 1. Каб вырашыць такое лінейнае раўнанне, спачатку запішыце яго ў стандартнай форме. Стандартная форма лінейнага ўраўненні выглядае так: ${ Displaystyle Ax + By = C}$, дзе ${ Displaystyle A, B}$ і ${ Displaystyle C}$ - цэлыя лікі.
   • Калі раўнанне дадзена ў іншай форме, прывядзіце яго да стандартнай форме з дапамогай асноўных алгебраічных дзеянняў. Напрыклад, дадзена раўнанне ${ Displaystyle 23x + 4y-7x = -3y + 15}$. Прывядзіце падобныя члены і запішыце раўнанне так: ${ Displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Спросціце раўнанне (калі можна). Калі вы запішаце раўнанне ў стандартнай форме, паглядзіце на каэфіцыенты ${ Displaystyle A, B}$ і ${ Displaystyle C}$. Калі ў гэтых каэфіцыентаў ёсць Нод, падзеліце на яго ўсе тры каэфіцыента. Рашэнне такога спрошчанага ўраўненні таксама будзе рашэннем зыходнага ўраўнення.
   • Напрыклад, калі ўсе тры каэфіцыента цотныя, падзеліце іх як мінімум на 2. напрыклад:
     • ${ Displaystyle 42x + 36y = 48}$ (Усе члены дзеляцца на 2)
     • ${ Displaystyle 21x + 18y = 24}$ (Зараз усе члены дзеляцца на 3)
     • ${ Displaystyle 7x + 6y = 8}$ (Гэта раўнанне больш нельга спрасціць)
3. 3 Праверце, ці можна вырашыць раўнанне. У некаторых выпадках можна адразу заявіць, што раўнанне не мае рашэнняў. Калі каэфіцыент «З» не дзеліцца на Нод каэфіцыентаў «А» і «У», у ўраўненні няма рашэнняў.
   • Напрыклад, калі абодва каэфіцыента ${ Displaystyle A}$ і ${ Displaystyle B}$ цотныя, то і каэфіцыент ${ Displaystyle C}$ павінен быць цотных. але калі ${ Displaystyle C}$ няцотны, то рашэння няма.
     • У ўраўненні ${ Displaystyle 2x + 4y = 21}$ няма цэлалікавых рашэнняў.
     • У ўраўненні ${ Displaystyle 5x + 10y = 17}$ няма цэлалікавых рашэнняў, так як левая частка ўраўненні дзеліцца на 5, а правая - не.

Частка 2 з 4: Як запісаць алгарытм Эўкліда

1. 1 Ўразумець алгарытм Эўкліда. Гэта шэраг паўторных дзяленняў, у якім папярэдні рэшту выкарыстоўваецца як наступны дзельнік. Апошні дзельнік, які дзеліць колькасці нацэлілася, з'яўляецца найбольшым агульным дзельнікам (Нод) двух лікаў.
   • Напрыклад, знойдзем Нод лікаў 272 і 36 з дапамогай алгарытму Еўкліда:
     • ${ Displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - падзеліце большая колькасць (272) на меншае (36) і звярніце ўвагу на рэшту (20);
     • ${ Displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - падзеліце папярэдні дзельнік (36) на папярэдні рэшту (20). Звярніце ўвагу на новы рэшту (16);
     • ${ Displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - падзеліце папярэдні дзельнік (20) на папярэдні рэшту (16). Звярніце ўвагу на новы рэшту (4);
     • ${ Displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - падзеліце папярэдні дзельнік (16) на папярэдні рэшту (4). Бо рэшту роўны 0, можна сказаць, што 4 з'яўляецца НОДом зыходных двух лікаў 272 і 36.
2. 2 Ўжыеце алгарытм Эўкліда да каэфіцыентах «A» і «B». Калі вы запішаце лінейнае раўнанне ў стандартнай форме, вызначыце каэфіцыенты «A» і «B», а затым ўжыеце да іх алгарытм Эўкліда, каб знайсці Нод. Напрыклад, дадзена лінейнае раўнанне ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Вось алгарытм Эўкліда для каэфіцыентаў А = 87 і В = 64:
     • ${ Displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ Displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ Displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ Displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ Displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ Displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ Displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Знайдзіце найбольшы агульны дзельнік (Нод). Паколькі апошнім дзельнікам быў лік 1, Нод 87 і 64 роўны 1. Такім чынам, 87 і 64 з'яўляюцца простымі лікамі ў адносінах адзін да аднаго.
4. 4 Прааналізуйце атрыманы вынік. Калі вы знойдзеце Нод каэфіцыентаў ${ Displaystyle A}$ і ${ Displaystyle B}$, Параўнайце яго з каэфіцыентам ${ Displaystyle C}$ зыходнага ўраўненні. Калі ${ Displaystyle C}$ дзеліцца на Нод ${ Displaystyle A}$ і ${ Displaystyle B}$, Раўнанне мае цэлалікавых рашэнне; у адваротным выпадку ў ўраўненні няма рашэнняў.
   • Напрыклад, раўнанне ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$ можна вырашыць, таму што 3 дзеліцца на 1 (Нод = 1).
   • Напрыклад, выкажам здагадку, што Нод = 5. 3 не дзеліцца на 5 нацэлілася, таму такое раўнанне не мае цэлалікавых рашэнняў.
   • Як паказана ніжэй, калі раўнанне мае адно цэлалікавых рашэнне, яно таксама мае бясконцае мноства іншых цэлалікавых рашэнняў.

Частка 3 з 4: Як знайсці рашэнне з дапамогай алгарытму Еўкліда

1. 1 Пронумеруйте крокі вылічэнні Нод. Каб знайсці рашэнне лінейнага ўраўненні, трэба выкарыстоўваць алгарытм Эўкліда ў якасці асновы працэсу падстаноўкі і спрашчэння.
   • Пачніце з нумарацыі крокаў вылічэнні Нод. Працэс вылічэнні выглядае так:
     • ${ Displaystyle { text {Крок 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ Displaystyle { text {Крок 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ Displaystyle { text {Крок 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ Displaystyle { text {Крок 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ Displaystyle { text {Крок 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ Displaystyle { text {Крок 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ Displaystyle { text {Крок 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Звярніце ўвагу на апошні крок, дзе ёсць рэшту. Перапішыце раўнанне гэтага кроку так, каб ізаляваць рэшту.
   • У нашым прыкладзе апошні крок з рэштай - гэта крок 6. Рэшту роўны 1. Перапішыце раўнанне кроку 6 наступным чынам:
     • ${ Displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Ізалюе рэшту папярэдняга кроку. Гэты працэс уяўляе сабой пакрокавае "перасоўванне ўверх». Кожны раз вы будзеце ізаляваць рэшту ў раўнанні папярэдняга кроку.
   • Ізалюе рэшту ўраўненні кроку 5:
     • ${ Displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ або ${ Displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 Зрабіце замену і спросціце. Звярніце ўвагу, што раўнанне кроку 6 змяшчае лік 2, а ў раўнанні кроку 5 лік 2 ізалявана. Таму замест «2» ў раўнанні кроку 6 падстаўце выраз кроку 5:
   • ${ Displaystyle 1 = 3-2}$ (Раўнанне кроку 6)
   • ${ Displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (Замест 2 падставілі выраз)
   • ${ Displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (Раскрылі дужкі)
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (Спрасцілі)
5. 5 Паўтарыце працэс падстаноўкі і спрашчэння. Паўтарыце апісаны працэс, перамяшчаючыся па алгарытме Еўкліда ў зваротным парадку. Кожны раз вы будзеце перапісваць раўнанне папярэдняга кроку і падстаўляць яго ў апошні атрыманае раўнанне.
   • Апошнім разгледжаным крокам быў крок 5. Таму перайдзіце да кроку 4 і ізалюе рэшту ў раўнанні гэтага кроку:
     • ${ Displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Падстаўце гэты выраз замест «3» у апошні раўнанне:
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Працягнеце працэс падстаноўкі і спрашчэння. Гэты працэс будзе паўтарацца да таго часу, пакуль вы не дасягне першапачатковага кроку алгарытму Еўкліда. Мэта працэсу - запісаць раўнанне з каэфіцыентамі 87 і 64 зыходнага ўраўненні, якое трэба вырашыць. У нашым выпадку:
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (Падставілі выраз з кроку 3)
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (Падставілі выраз з кроку 2)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (Падставілі выраз з кроку 1)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Перапішыце атрыманае раўнанне ў адпаведнасці з зыходнымі каэфіцыентамі. Калі вы вернецеся да першага кроку алгарытму Еўкліда, вы ўбачыце, што атрыманае раўнанне змяшчае два каэфіцыента зыходнага ўраўненні. Перапішыце раўнанне так, каб парадак яго членаў адпавядаў каэфіцыентах зыходнага ўраўненні.
   • У нашым прыкладзе зыходнае раўнанне ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$. Таму перапішыце атрыманае раўнанне так, каб каэфіцыенты прывесці ў адпаведнасць.Звярніце асаблівую ўвагу на каэфіцыент «64». У зыходным раўнанні гэты каэфіцыент адмоўны, а ў алгарытме Еўкліда - станоўчы. Таму множнік 34 трэба зрабіць адмоўным. Канчатковае раўнанне запішацца так:
     • ${ Displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Ўжыеце адпаведны множнік, каб знайсці рашэнне. Звярніце ўвагу, што ў нашым прыкладзе Нод = 1, таму канчатковае раўнанне роўна 1. Але зыходнае раўнанне (87x-64y) роўна 3. Таму ўсе члены канчатковага ўраўненні трэба памножыць на 3, каб атрымаць рашэнне:
   • ${ Displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ Displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Запішыце цэлалікавых рашэнне ўраўненні. Колькасці, якія памнажаюцца на каэфіцыенты зыходнага ўраўненні, з'яўляюцца рашэннямі гэтага ўраўненні.
   • У нашым прыкладзе запішыце рашэнне ў выглядзе пары каардынатаў: ${ Displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}$.

Частка 4 з 4: Як знайсці бясконцае мноства іншых рашэнняў

1. 1 Ўразумець, што існуе бясконцае мноства рашэнняў. Калі лінейнае раўнанне мае адно цэлалікавых рашэнне, то яно павінна мець бясконца мноства цэлалікавых рашэнняў. Вось кароткае доказ (у алгебраічнай форме):
   • ${ Displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ Displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (Калі дадаць «B» да «x» і адняць «A» з «y», значэнне зыходнага ўраўненні не зменіцца)
2. 2 Запішыце зыходныя значэння «x» і «y». Шаблон для вылічэнні наступных (бясконцых) рашэнняў пачынаецца з адзінага рашэння, якое вы ўжо знайшлі.
   • У нашым прыкладзе рашэнне ўяўляе сабой пару каардынатаў ${ Displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}$.
3. 3 Дадайце каэфіцыент «B» да значэння «x». Зрабіце гэта, каб знайсці новае значэнне «x».
   • У нашым прыкладзе x = -75, а Ў = -64:
     • ${ Displaystyle x = -75 + (- 64) = - 139}$
   • Такім чынам, новае значэнне «х»: x = -139.
4. 4 Вылічаная каэфіцыент «A» з значэння «y». Каб значэнне зыходнага ўраўненні не змянілася, пры прыбыткам аднаго ліку да «x» трэба адняць іншае лік з «y».
   • У нашым прыкладзе y = -102, а А = 87:
     • ${ Displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • Такім чынам, новае значэнне «у»: у = -189.
   • Новая пара каардынатаў запішацца так: ${ Displaystyle (x, y) = (- 139, -189)}$.
5. 5 Праверце рашэнне. Каб пераканацца, што новая пара каардынатаў з'яўляецца рашэннем зыходнага ўраўнення, падстаўце значэння ў раўнанне.
   • ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ Displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ Displaystyle 3 = 3}$
   • Паколькі роўнасць выканана, рашэнне правільнае.
6. 6 Запішыце выразы для знаходжання мноства рашэнняў. Значэння «x» будуць роўныя зыходнаму рашэнню плюс любы кратнае каэфіцыента "В". Гэта можна запісаць у выглядзе наступнага выказвання:
   • x (k) = x + k (B), дзе «x (k)» - мноства значэнняў «х», а «x» - зыходнае (першае) значэнне «x», якое вы знайшлі.
     • У нашым выпадку:
     • ${ Displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), дзе «ў (k)» - мноства значэнняў «у», а «у» - зыходнае (першае) значэнне «у», якое вы знайшлі.
     • У нашым выпадку:
     • ${ Displaystyle y (k) = - 102-87k}$