Задаволены

• крокі
• Частка 1 з 2: Асновы
• Частка 2 з 2: Пераўтварэнне пашыранай матрыцы для вырашэння Слау
• парады

Сістэмай раўнанняў называецца набор з двух або больш раўнанняў, якія маюць агульны набор невядомых і, такім чынам, агульнае рашэнне. Графікам сістэмы лінейных раўнанняў з'яўляюцца дзве прамыя, а рашэннем сістэмы з'яўляецца кропка перасячэння гэтых прамых. Для вырашэння такіх сістэм лінейных раўнанняў карысна і зручна карыстацца матрыцамі.

крокі

Частка 1 з 2: Асновы

1. 1 Тэрміналогія. Сістэмы лінейных раўнанняў складаюцца з розных кампанентаў. Пераменная пазначаецца літарным сімвалам (звычайна x або y) і азначае лік, якое вы яшчэ не ведаеце і якое трэба знайсці. Пастаяннай называецца вызначаны лік, якое не мяняе сваё значэнне.Каэфіцыентам называецца лік, вартае перад зменнай, то ёсць тая колькасць, на якое памнажаецца пераменная.
   • Напрыклад, для лінейнага ўраўненні 2x + 4y = 8, x і y з'яўляюцца зменнымі, 8 з'яўляецца пастаяннай, а ліку 2 і 4 - каэфіцыентамі.
2. 2 Форма для сістэмы лінейных раўнанняў. Сістэма лінейных алгебраічных раўнанняў (Слау) з дзвюма зменнымі можа быць запісана наступным чынам: ax + by = p, cx + dy = q. Любыя сталыя (p, q) могуць быць роўныя нулю, але кожнае з раўнанняў павінна ўтрымліваць хаця б адну зменную (x, y).
3. 3 Матрычныя выразы. Любую Слау можна запісаць у матрычнай форме, а затым, выкарыстоўваючы Алгебраічныя ўласцівасці матрыц, вырашыць яе. Пры запісе сістэмы раўнанняў у форме матрыцы A ўяўляе сабой каэфіцыенты матрыцы, C ўяўляе пастаянныя матрыцы і X пазначаецца невядомая матрыца.
   • Напрыклад, прадстаўленая вышэй Слау можа быць перапісана ў наступнай матрычнай форме: A x X = C.
4. 4 Пашыраная матрыца. Пашыраная матрыца атрымліваецца шляхам пераносу матрыцы свабодных членаў (пастаянных) у левую частку. Калі ў вас ёсць дзве матрыцы, A і C, то пашыраная матрыца будзе выглядаць наступным чынам:
   • Напрыклад, для наступнай сістэмы лінейных раўнанняў:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Пашыраная матрыца будзе мець памернасць 2x3 і выглядаць наступным чынам:

Частка 2 з 2: Пераўтварэнне пашыранай матрыцы для вырашэння Слау

1. 1 Элементарныя аперацыі. Вы можаце вырабляць пэўныя аперацыі над матрыцай, атрымліваючы пры гэтым матрыцу, эквівалентную арыгінальнай. Такія аперацыі называюцца элементарнымі. Напрыклад, каб вырашыць матрыцу 2x3 трэба праводзіць аперацыі з радкамі, каб прывесці матрыцу да трохкутнай ўвазе. Такімі аперацыямі могуць быць:
   • перастаноўка двух радкоў.
   • множанне радкі на лік, выдатнае ад нуля.
   • множанне радкі і прыбытак яе да іншай.
2. 2 Множанне другога радка на адрозны ад нуля лік. Калі вы хочаце атрымаць нуль у другім радку, вы можаце памножыць радок так, каб гэта стала магчымым.
   • Напрыклад, калі ў вас матрыца наступнага выгляду:
     
     
     Вы можаце захаваць першы радок і выкарыстоўваць яе для атрымання нуля у другім радку. Для гэтага неабходна спачатку памножыць другі радок на 2:
3. 3 Памножце яшчэ раз. Каб атрымаць нуль для першага радка, вам можа спатрэбіцца памножыць яшчэ раз, выкарыстоўваючы аналагічныя маніпуляцыі.
   • У прыведзеным прыкладзе неабходна памножыць другі радок на -1:
     
     
     Пасля множання матрыца будзе выглядаць наступным чынам:
4. 4 Дадайце першую радок да другой. Складзеце радкі, каб атрымаць нуль на месцы элемента першага слупка і другога радка.
   • У нашым прыкладзе складзеце абедзве радкі, каб атрымалася наступнае:
5. 5 Запішыце новую сістэму лінейных раўнанняў для трохкутнай матрыцы. Пасля таго, як вы атрымалі трохкутную матрыцу, вы можаце зноў перайсці да Слау. Першы слупок матрыцы адпавядае невядомай зменнай x, а другі адпавядае невядомай зменнай y. Трэці слупок адпавядае свабоднаму члену ўраўненні.
   • У згаданым прыкладзе, новая сістэма лінейных раўнанняў прыме выгляд:
6. 6 Вырашыце раўнанне для адной з зменных. У новай Слау вызначце, якую зменную прасцей за ўсё знайсці і вырашыце раўнанне.
   • У нашым прыкладзе, зручней вырашаць з канца, гэта значыць ад апошняга ўраўненні да першага, рухаючыся знізу ўверх. З другога раўнання мы лёгка можам знайсці рашэнне для y, паколькі мы пазбавіліся ад x, так, y = 2.
7. 7 Знайдзіце другую невядомую метадам падстаноўкі. Пасля таго, як вы знайшлі адну з зменных, вы можаце падставіць яе ў другое раўнанне, каб знайсці другую зменную.
   • У нашым прыкладзе проста заменіце y на 2 у першым раўнанні, каб знайсці невядомую x:

парады

• Элементы матрыцы звычайна называюць скаляраў.
• Каб вырашыць матрыцу 2x3, вы павінны выконваць элементарныя аперацыі над радкамі. Вам не дазволена выконваць гэтыя аперацыі па слупках.