Задаволены

• Крок
• Спосаб 1 з 2: Выцягванне кораня з асноўнымі фактарамі
• Спосаб 2 з 2: Пошук квадратных каранёў без калькулятара
• З доўгім дзяленнем
• Зразумець працэдуру
• Парады
• Папярэджанні

Да з'яўлення калькулятараў і студэнты, і выкладчыкі павінны былі вылічаць квадратныя карані ручкай і паперай. У той час былі распрацаваны розныя метады для вырашэння гэтай часам складанай працы, некаторыя з якіх даюць прыблізную ацэнку, а іншыя вылічваюць дакладную велічыню. Чытайце далей, каб даведацца, як знайсці квадратны корань з ліку за некалькі простых крокаў.

Крок

Спосаб 1 з 2: Выцягванне кораня з асноўнымі фактарамі

1. Падзяліце свой лік на каэфіцыенты магутнасці. Гэты метад выкарыстоўвае множнікі з ліку, каб знайсці квадратны корань з ліку (у залежнасці ад ліку, гэта можа быць дакладны адказ альбо ацэнка). фактараў дадзенага ліку - гэта любая паслядоўнасць лікаў, якія памнажаюцца, утвараючы гэты канкрэтны лік. Напрыклад, вы можаце сказаць, што каэфіцыенты 8 роўныя 2 і 4, таму што 2 × 4 = 8. Ідэальныя квадраты, з іншага боку, з'яўляюцца цэлымі лікамі, якія з'яўляюцца творам іншых цэлых лікаў. Напрыклад, 25, 36 і 49 - гэта ідэальныя квадраты, таму што яны роўныя адпаведна 5, 6 і 7. Другія каэфіцыенты магутнасці, як вы зразумелі, гэта фактары, якія таксама з'яўляюцца ідэальнымі квадратамі. Каб знайсці квадратны корань, выкарыстоўваючы простыя множнікі, паспрабуйце спачатку падзяліць лік на яго іншыя каэфіцыенты магутнасці.
   • Возьмем наступны прыклад. Мы знойдзем квадратны корань з 400. Для пачатку мы дзелім колькасць на каэфіцыенты магутнасці. Паколькі 400 кратна 100, мы ведаем, што ён раўнамерна дзеліцца на 25 - ідэальны квадрат. Хуткае паведамленне кажа нам, што 400/25 = 16,16 таксама бывае ідэальным квадратам. Такім чынам, каэфіцыенты куба ў 400 складаюць 25 і 16 таму што 25 × 16 = 400.
   • Мы запісваем гэта так: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Вазьміце квадратныя карані вашых другіх фактараў магутнасці. Правіла здабытку квадратных каранёў абвяшчае, што для любога дадзенага ліку а і б, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). З-за гэтай уласцівасці мы зараз можам узяць квадратныя карані з каэфіцыентаў квадратаў і памножыць іх разам, каб атрымаць адказ.
   • У нашым прыкладзе мы бярэм квадратныя карані 25 і 16. Глядзіце ніжэй:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Калі ваш нумар немагчыма разлічыць дасканала, спросціце яго. У рэчаіснасці лічбы, па якіх вы хочаце вызначыць квадратныя карані, не будуць прыемнымі акругленымі лікамі з мілымі квадратамі, такімі як 400. У гэтых выпадках атрымаць цэлы лік у якасці адказу можа быць немагчыма. Замест гэтага, выкарыстоўваючы ўсе фактары магутнасці, якія вы можаце знайсці, вы можаце вызначыць адказ як меншы, просты ў выкарыстанні квадратны корань. Вы робіце гэта, скарачаючы колькасць да спалучэння фактараў магутнасці і іншых фактараў, а потым спрашчаючы яго.
   • У якасці прыкладу возьмем квадратны корань з 147. 147 не з'яўляецца здабыткам двух ідэальных квадратаў, таму мы не можам атрымаць прыемнае цэлае значэнне. Але гэта здабытак ідэальнага квадрата і іншага ліку - 49 і 3. Мы можам выкарыстаць гэтую інфармацыю, каб напісаць свой адказ самымі простымі словамі:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Пры неабходнасці спрасціце. Выкарыстоўваючы квадратны корань найпростымі словамі, звычайна даволі проста атрымаць грубую ацэнку адказу, падлічыўшы астатнія квадратныя карані і памножыўшы іх. Адзін са спосабаў палепшыць вашы здагадкі - знайсці ідэальныя квадраты па абодва бакі ад ліку ў вашым квадратным корані. Вы ведаеце, што дзесятковае значэнне ліку ў вашым квадратным корані знаходзіцца дзесьці паміж гэтымі двума лікамі, таму ваша здагадка таксама павінна быць паміж гэтымі лікамі.
   • Вернемся да нашага прыкладу. Паколькі 2 = 4 і 1 = 1, мы ведаем, што Sqrt (3) знаходзіцца паміж 1 і 2 - верагодна, бліжэй да 2, чым 1. Мы лічым, што 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Калі мы праверым гэта з дапамогай калькулятара, мы ўбачым, што мы вельмі блізкія да адказу: 12,13.
     • Гэта таксама працуе для большай колькасці. Напрыклад, sqrt (35) знаходзіцца прыблізна паміж 5 і 6 (верагодна, бліжэй да 6). 5 = 25 і 6 = 36,35 паміж 25 і 36, таму квадратны корань будзе паміж 5 і 6. Паколькі 35 крыху ніжэй 36, мы можам з пэўнай упэўненасцю сказаць, што квадратны корань з яе проста менш за 6. Праверка з дапамогай калькулятара дае нам адказ прыблізна 5,92 - мы мелі рацыю.
5. Акрамя таго, у якасці першага кроку вы можаце спрасціць нумар да найменш агульнае кратнае. Шукаць каэфіцыенты магутнасці не трэба, калі вы лёгка можаце знайсці простыя множнікі ліку (множнікі, якія адначасова з'яўляюцца і простымі лікамі). Запішыце лік праз найменшыя агульныя кратныя. Затым знайдзіце паміж фактарамі адпаведнасць простых лікаў. Калі вы знойдзеце два простыя фактары, якія супадаюць, выдаліце ​​іх з квадратнага кораня і пастаўце а з гэтых лікаў за межамі знака квадратнага кораня.
   • Напрыклад, мы вызначаем квадратны корань з 45 з дапамогай гэтага метаду. Мы ведаем, што 45 = 9 × 5, а 9 = 3 × 3. Такім чынам, мы можам запісаць квадратны корань так: Sqrt (3 × 3 × 5). Проста выдаліце ​​3 і пастаўце 3 па-за квадратнага кораня, каб атрымаць спрошчаны квадратны корань: (3) Sqrt (5). Цяпер вы можаце лёгка зрабіць ацэнку.
   • Апошні прыклад; мы вызначаем квадратны корань з 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). У нашым квадратным корані ёсць некалькі 2-х. Паколькі 2 простае, мы можам выдаліць пару і паставіць 2 па-за кораня.
     • = Наш квадратны корань прасцей кажучы (2) Sqrt (2 × 11) альбо (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Цяпер мы можам падысці да Sqrt (2) і Sqrt (11) і знайсці прыблізны адказ, калі б мы гэтага хацелі.

Спосаб 2 з 2: Пошук квадратных каранёў без калькулятара

З доўгім дзяленнем

1. Падзяліце лічбы вашага ліку на пары. Гэты спосаб падобны на доўгі дзяленне, які дазваляе падзяліць дакладна квадратны корань з лічбы лічба за лічбай. Хоць гэта і не важна, разбіццё шэрагу на працаздольныя часткі можа палегчыць рашэнне, асабліва калі яно доўгае. Спачатку правядзіце вертыкальную лінію, якая дзеліць рабочую зону на 2 вобласці, затым кароткую лінію ўверсе правай вобласці, падзяліўшы яе на меншую верхнюю частку і большую частку знізу. Затым падзяліце лік на пары лікаў, пачынаючы з дзесятковай коскі. Паводле гэтага правіла, 79520789182.47897 становіцца "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Напішыце гэты лік у левым верхнім куце.
   • У якасці прыкладу вылічым квадратны корань з 780,14. Падзяліце працоўную прастору, як паказана вышэй, і ў левым верхнім куце напішыце "7 80, 14". Нічога страшнага, калі злева будзе толькі адзін нумар замест двух. Затым вы напішаце адказ (квадратны корань з 780,14) уверсе справа.
2. Знайдзіце найбольшае цэлае лік п чый квадрат менш або роўны самай левай лічбе ці ліку. Знайдзіце найбольшы квадрат, меншы або роўны гэтаму ліку, а затым знайдзіце квадратны корань гэтага квадрата. Гэты нумар ёсць п. Запішыце гэта ў правым верхнім куце і запішыце квадрат n у ніжнім квадранце гэтай вобласці.
   • У нашым прыкладзе самай левай лічбай з'яўляецца лічба 7. Паколькі мы ведаем, што 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, мы можам сказаць, што n = 2, таму што гэта найбольшае цэлае лік, квадрат якога меншы або роўны 7. Запішыце 2 у правым верхнім квадранце. Гэта першая лічба адказу. Запішыце 4 (квадрат 2) у правы ніжні квадрант. Гэты лік важны для наступнага кроку.
3. Адніміце вылічаную лічбу самай левай лічбы ці лічбы. Як і пры доўгім дзяленні, наступным крокам будзе адняць квадрат ад ліку, якое мы толькі што выкарысталі для разліку. Запішыце гэты лік пад самым левым лікам і зменшыце іх. Адказ запішыце ніжэй.
   • У нашым прыкладзе мы пішам 4 пад 7 і аднімаем яго. Гэта дае 3 у адказ.
4. Перамясціце наступны нумар уніз. Размясціце гэта побач са значэннем, якое вы знайшлі ў папярэднім праўленні. Памножце лік уверсе справа на два і запішыце ўнізе справа. Пакіньце месца побач з толькі што запісаным нумарам для сумы, якую вы зробіце на наступным этапе. Напішыце тут "_ × _ =" ".
   • У нашым прыкладзе наступная лічба - "80". Напішыце "80" побач з 3 у левым квадранце. Затым памножце лік уверсе справа на 2. Гэты лік роўны 2, таму 2 × 2 = 4. Запішыце "" 4 "" справа ўнізе, пасля чаго _×_=.
5. Увядзіце лічбы справа. У пустое месца сумы (справа) увядзіце найбольшае цэлае лік, якое зробіць вынік сумы множання справа меншым або роўным бягучаму ліку злева.
   • У нашым прыкладзе мы ўводзім 8, і гэта дае 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Гэта больш, чым 380. Такім чынам, 8 занадта вялікі, але 7, верагодна, не. Запоўніце 7 і развяжыце: 4 (7) × 7 = 329. 7 добра, бо 329 менш за 380. Напішыце 7 уверсе справа. Гэта другая лічба ў квадратным корані з 780,14.
6. Адніміце толькі што разлічаны лік з бягучага ліку злева. Такім чынам, вы аднімеце вынік множання справа ад бягучага адказу злева. Напішыце свой адказ прама пад ім.
   • У нашым прыкладзе мы аднімаем 329 ад 380, і гэта дае 51 як вынік.
7. Паўтарыце крок 4. Перамясціце наступную пару лікаў з 780,14. Калі вы атрымаеце коску, напішыце яе ў адказе справа. Затым памножце верхні правы лік на 2 і напішыце адказ побач з ("_ × _"), як паказана вышэй.
   • У нашым адказе мы зараз пішам коску, таму што мы таксама сутыкаемся з гэтым у 780.14. Перамясціце наступную пару (14) па левым квадранце. 27 х 2 = 54, таму мы пішам "54 _ × _ =" у правым ніжнім квадранце.
8. Паўтарыце крокі 5 і 6. Знайдзіце найбольшы лік, які дае адказ, меншы або роўны бягучаму ліку злева. Вырашыць.
   • У нашым прыкладзе 549 × 9 = 4941, што менш альбо роўна ліку злева (5114). 549 × 10 = 5490, што занадта высока, таму 9 - наш адказ. Запішыце 9 як наступны верхні правы лік і выніце вынік множання з левага ліку: 5114 -4941 = 173.
9. Каб зрабіць вынік дакладным, паўтарайце папярэднюю працэдуру, пакуль не знойдзеце адказ з патрэбнай колькасцю знакаў пасля коскі (сотых, тысячных).

Зразумець працэдуру

1. Лічыце лік, квадратны корань якога вы хочаце вылічыць, як плошчу S квадрата. Паколькі плошча квадрата L, дзе L - даўжыня адной з яго бакоў, таму, знайшоўшы квадратны корань вашага ліку, вы спрабуеце вылічыць даўжыню L боку гэтага квадрата.
2. Дайце кожнай лічбе вашага адказу ліст. Увядзіце зменную A як першую лічбу L (квадратны корань, які мы спрабуем вылічыць). B - другая лічба, C - трэцяя і г.д.
3. Дайце літару кожнай "пары лічбаў" лічбы, з якой вы пачынаеце. Дайце зменную S_а да першай пары лічбаў у S (пачатковае значэнне), S._б да другой пары лічбаў і г.д.
4. Зразумець сувязь паміж гэтым метадам і доўгім падзелам. Гэты метад пошуку квадратнага кораня, па сутнасці, доўгі падзел, дзе вы дзеліце пачатковае значэнне на яго квадратны корань і "даяце" квадратны корань у якасці адказу. Як і пры доўгім дзяленні, калі вас цікавяць толькі наступныя лічбы адначасова, вас цікавяць толькі наступныя дзве лічбы (якія адпавядаюць наступнай лічбе квадратнага кораня).
5. Знайдзіце найбольшы лік, квадрат якога меншы або роўны S._а ёсць. Тады першая лічба А ў нашым адказе з'яўляецца самым вялікім цэлым лікам, квадрат якога не большы за S._а (Такая, што A² ≤ Sa (A + 1) ²). У нашым прыкладзе S_а = 7 і 2² ≤ 7 3², таму A = 2.
   • Звярніце ўвагу, што калі вы дзеліце 88962 на 7 пры дапамозе доўгага дзялення, першы крок роўны: вы спачатку маеце справу з першай лічбай 88962 (8), і вы хочаце, каб самая вялікая лічба, памножаная на 7, меншая або роўная 8. Па сутнасці вызначыць d такі, што 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). У гэтым выпадку d роўна 1.
6. Візуалізуйце плошчу, якую вы хочаце знайсці. Ваш адказ - квадратны корань з пачатковага значэння - L, які апісвае даўжыню квадрата з плошчай S (пачатковае значэнне). Значэнні для A, B і C прадстаўляюць лічбы ў значэнні L. Іншы спосаб сказаць гэта: для 2-значнага адказу 10A + B = L і для 3-значнага адказу 100A + 10B. + C = L і гэтак далей.
   • У нашым прыкладзе (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Памятаеце, што 10A + B прадстаўляе наш адказ L разам з B у становішчы адзінак і A ў становішчы дзесяткаў. Напрыклад, калі A = 1 і B = 2, то 10A + B - гэта лік 12. (10A + B) ² - гэта плошча ўсёй плошчы, у той час як 100А² - плошча найбольшага ўнутранага квадрата, B² - плошча найменшага квадрата і 10А × Б - плошча кожнага з пакінутых прамавугольнікаў. Дзякуючы гэтай доўгай, складанай працэдуры, мы можам знайсці плошчу ўсяго квадрата, дадаўшы плошчы квадратаў і прамавугольнікаў, якія ўваходзяць у яго.
7. Адніміце A² ад S._а. Прынясіце пару лічбаў (С._б) уніз ад ліку S. S._а С._б - гэта амаль агульная плошча квадрата, з якога вы толькі што вылічылі плошчу самага вялікага ўнутранага квадрата. Астатняе, скажам, лік N1, якое мы атрымалі на этапе 4 (N1 = 380 у нашым прыкладзе). N1 роўны 2 × 10A × B + B² (плошча 2 прамавугольнікаў плюс плошча маленькага квадрата).
8. Паглядзіце на N1 = 2 × 10A × B + B², таксама запісанае як N1 = (2 × 10A + B) × B. У нашым прыкладзе вы ўжо ведаеце N1 (380) і A (2), таму зараз вам трэба знайсці B. Б, верагодна, не з'яўляецца цэлым лікам, таму вы павінны на самай справе знайсці найбольшае цэлае лік B, такое, што (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Такім чынам, у вас ёсць: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Рашы ўраўненне. Каб вырашыць гэтае ўраўненне, памножце А на 2, перавядзіце яе ў дзесяць (памножце на 10), пастаўце В у адзінкі і памножце вынік на Б. Іншымі словамі, (2 × 10А + В) × В. менавіта тое, што вы робіце, калі пішаце "N_ × _ =" (з N = 2 × A) у правым ніжнім квадранце на этапе 4. На кроку 5 вы вызначаеце найбольшае цэлае лік B, якое адпавядае ніжэй лініі, таму (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Ад агульнай плошчы адніміце плошчу (2 × 10A + B) × B. Гэта дае плошчу S- (10A + B) ², якую вы яшчэ не прынялі да ўвагі (і якую вы выкарыстоўваеце для разліку наступных лічбаў такім жа чынам).
11. Каб вылічыць наступную лічбу З, паўтарыце працэдуру. Перамясціце наступную пару лікаў з S ўніз (S_c), каб атрымаць N2 злева, і пашукайце самую вялікую C, каб у вас атрымалася: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (роўна падвоенаму двухзначнаму ліку "AB", пасля чаго by "_ × _ =" Цяпер вызначце найбольшую колькасць, якую вы можаце ўвесці тут, і гэта дасць вам адказ, меншы або роўны N2.

Парады

• Перасоўванне коскі на два месцы (каэфіцыент 100) перамяшчае коску ў адпаведным квадратным корані на адно месца (каэфіцыент 10).
• У гэтым прыкладзе 1,73 можна лічыць "астаткам": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Гэты метад працуе для любой сістэмы злічэння, а не толькі дзесятковай (дзесятковай) сістэмы.
• Не саромейцеся размяшчаць разлікі там, дзе хочаце. Некаторыя людзі пішуць яго вышэй за лік, з якога хочуць вылічыць квадратны корань.
• Альтэрнатыўным метадам з'яўляецца наступны: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Напрыклад, каб вылічыць квадратны корань з 780,14, вазьміце цэлае лік, квадрат якога найбольш блізкі да 780,14 (28), так што = 780,14, x = 28 і y = -3,86. Запаўненне і ацэнка дае нам х + у / (2х), і гэта дае (спрошчаныя тэрміны) 78207/2800 альбо каля 27,931 (1); наступны тэрмін, 4374188/156607 або каля 27.930986 (5). Кожны тэрмін дадае да папярэдняга прыблізна 3 знакі пасля коскі.

Папярэджанні

• Абавязкова падзяліце лік на пары з дзесятковай коскі. Падзяліўшы 79520789182.47897 як "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "дае няправільны вынік.