Рашыць квадратныя ўраўненні - Чаявыя

Відэа: BBC. Гісторыя матэматыкі. Мова Сусвету

Задаволены

Крокі
Парада

Квадратычнае ўраўненне - гэта мнагачлен з адной зменнай, дзе 2 - найвышэйшы паказчык гэтай зменнай. Існуе тры асноўныя спосабы рашэння квадратных ураўненняў: 1) па магчымасці разлічыць ураўненне на множнікі, 2) выкарыстаць квадратную формулу альбо 3) дапоўніць квадрат. Выканайце наступныя дзеянні, каб даведацца, як стаць дасведчаным пры дапамозе гэтых трох метадаў.

Крокі

Метад 1 з 3: Аналіз раўнанняў на фактары

Дадайце ўсе тыя ж члены і перанясіце іх у адзін бок раўнання. Першы крок у фактарным аналізе - змясціць усе яго ўмовы ў адзін бок, каб яны мелі станоўчы знак. Каб аб'яднаць тэрміны, дадайце або адніміце ўсе тэрміны, любыя, якія ўтрымліваюць тэрміны, і канстанты (тэрміны - цэлыя лікі), пераўтварыце іх у адзін бок, а на другім баку нічога не пакідайце. Затым вы можаце напісаць "0" на другім баку знака роўнасці. Вось як гэта зрабіць:
Прааналізуйце выраз на фактар. Каб разлічыць выраз, трэба выкарыстаць множнікі тэрміна, які змяшчае (3), і каэфіцыенты канстанты (-4), каб памножыць іх, а затым дадаць да сярэдняга члена (-11). . Вось як гэта зрабіць:
- Паколькі існуе толькі адзін магчымы набор фактараў, і, вы можаце перапісаць яго ў дужкі так :.
- Далей выкарыстоўвайце памяншэнне, каб аб'яднаць каэфіцыенты 4, каб знайсці камбінацыю, якая пры множанні складае -11x. Вы можаце выкарыстоўваць 4 і 1, альбо 2 і 2, таму што ў іх абодвух робіцца 4. Толькі памятайце, што каэфіцыент павінен быць адмоўным, бо наш тэрмін роўны -4.
- З дапамогай метаду тэсту мы праверым сукупнасць фактараў. Калі мы рэалізуем множанне, атрымліваем. Складзіце ўмовы і, у нас ёсць, гэта менавіта сярэдні тэрмін, на які мы імкнемся. Такім чынам, мы толькі што разбілі на квадратычную функцыю.
- У якасці прыкладу гэтага тэсту давайце разгледзім няспраўную (няправільную) камбінацыю: =. Аб'яднаўшы гэтыя ўмовы, мы атрымаем. Хоць гэта праўда, што ў -2 і 2 ёсць прадукты, роўныя -4, тэрмін паміж імі не правільны, бо ён нам патрэбны.
Няхай кожны выраз у дужках роўны нулю як асобныя ўраўненні. Адтуль знайдзіце два значэнні, якія робяць агульнае ўраўненне роўным нулю = 0. Цяпер, улічыўшы ўраўненне, вам проста трэба ўкласці выраз у дужкі нулем. Чаму? Гэта таму, што для нулявога прадукту мы маем "прынцып, закон ці ўласцівасць", што каэфіцыент павінен быць роўны нулю. Такім чынам, прынамсі адно значэнне ў дужках павінна быць роўна нулю; гэта значыць (3x + 1) альбо (x - 4) павінна быць роўна нулю. Такім чынам, мы маем альбо.
Вырашыце кожнае з гэтых "нулявых" ураўненняў самастойна. Квадратычнае ўраўненне мае два магчымыя рашэнні. Знайдзіце кожнае магчымае рашэнне для зменнай x, аддзяліўшы зменную і запісаўшы два яе рашэнні ў якасці канчатковага выніку. Вось як:
- Вырашыць 3x + 1 = 0
  - Адніміце два бакі: 3x = -1 .....
  - Падзяліце бакі: 3x / 3 = -1/3 .....
  - Згарнуць: x = -1/3 .....
- Вырашыць х - 4 = 0
  - Адніміце два бакі: х = 4 .....
- Напішыце свае ўласныя рашэнні: x = (-1/3, 4) ....., гэта значыць x = -1/3 або x = 4 правільныя.
Праверце х = -1/3 цалі (3x + 1) (x - 4) = 0:

Замест выразу мы маем (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Згарнуць: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Выканайце множанне, атрымаем (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Справа, x = -1/3 - гэта рашэнне ураўненне.
Праверце х = 4 цалі (3x + 1) (x - 4) = 0:

Замест выразу мы маем (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Згарнуць, атрымаем: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Выканайце множанне: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Справа, x = 4 - гэта рашэнне ўраўнення.
- Такім чынам, абодва гэтыя магчымыя рашэнні былі "выпрабаваны" паасобку, і можна пацвердзіць, што абодва яны вырашаюць праблему і ўяўляюць сабой два асобныя сапраўдныя рашэнні.
рэклама

Спосаб 2 з 3: Выкарыстоўвайце квадратную формулу

Дадайце ўсе тыя ж члены і перанясіце іх у адзін бок раўнання. Перамяшчае ўсе тэрміны ў адзін бок знака роўнасці, каб тэрмін утрымліваў дадатны знак. Перапішыце тэрміны ў парадку змяншэння, гэта азначае, што тэрмін ідзе першым, а потым і, нарэшце, канстантай. Вось як:
- 4x - 5x - 13 = x -5
- 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
- 3x - 5x - 8 = 0
Запішыце сваю квадратную формулу. Гэта:
Вызначце значэнні a, b і c у квадратным ураўненні. Выходзіць а - каэфіцыент х, б - каэфіцыент х і c з'яўляецца канстантай. З ураўненнем 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 і c = -8. Запішыце, калі ласка, на паперы.
Далучыце значэнні a, b і c ва ўраўненне. Цяпер, калі вы ведаеце значэнні трох зменных вышэй, вы можаце змясціць іх у раўнанне так:
- {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
Выканайце разлікі. Пасля таго, як вы замянілі лічбы, выканайце астатнюю частку разліку, каб паменшыць дадатныя або адмоўныя знакі, памножце або ўстаўце ў квадрат астатнія члены. Вось як:
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Згарнуць квадратны корань. Калі пад радыкальным знакам ідэальны квадрат, вы атрымаеце цэлае лік. Калі гэта не ідэальны квадрат, зменшыце яго да самай простай радыкальнай формы. Калі гэта адмоўна, і вы ўпэўнены, што гэта павінна быць адмоўным, рашэнне будзе даволі складаным. У гэтым прыкладзе √ (121) = 11. Мы маглі б напісаць: x = (5 +/- 11) / 6.
Вырашыце станоўчыя і адмоўныя рашэнні. Калі вы выдалілі квадратны корань, вы можаце працягваць рухацца, пакуль не знойдзеце станоўчых і адмоўных рашэнняў х. Цяпер у вас ёсць (5 +/- 11) / 6, вы можаце напісаць два варыянты:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Знайдзіце станоўчыя і адмоўныя рашэнні. Нам проста трэба зрабіць разлік:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Згарнуць. Каб спрасціць адказ, вы проста падзяляеце лічнік і мадэль на іх самы вялікі агульны дзельнік. Падзяліце лічнік і назоўнік першага дробу на 2, а назоўнік і назоўнік другога дробу - на 6, і вы знайшлі х.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- х = (-1, 8/3)
рэклама

Спосаб 3 з 3: Запоўніце квадрат

Перамясціце ўсе члены ў адзін бок раўнання. Пераканайцеся ў гэтым а альбо х мае станоўчы знак. Вось як:
- 2x - 9 = 12x =
- 2x - 12x - 9 = 0
  - У гэтым раўнанні а роўна 2, б роўна -12 і c роўны -9.
Рушыў далей c альбо пастаянны да іншага боку. Канстанты - гэта лікавыя тэрміны, якія не ўтрымліваюць зменных. Перанясем яго ў правы бок ураўнення:
- 2x - 12x - 9 = 0
- 2x - 12x = 9
Падзяліце абодва бакі на каэфіцыенты а альбо каэфіцыент х. Калі ў x няма тэрміна наперадзе, то яго каэфіцыент роўны 1, і вы можаце прапусціць гэты крок. У нашым выпадку вам прыйшлося б падзяліць усе члены ўраўнення на 2, напрыклад:
- 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- х - 6х = 9/2
Падзяліцеся б у два разы, квадрат, і дадаць вынік з абодвух бакоў. У гэтым прыкладзе б роўна -6. Мы робім наступнае:
- -6/2 = -3 =
- (-3) = 9 =
- х - 6х + 9 = 9/2 + 9
Згарнуць два бакі. Для разліку на левы бок мы маем (x-3) (x-3), альбо (x-3). Дадайце правы бок, каб атрымаць 9/2 + 9, альбо 9/2 + 18/2, і атрымайце 2/27.
Знайдзіце квадратны корань з абодвух бакоў. Квадратны корань з (x-3) роўны (x-3). Вы можаце выказаць квадратны корань з 27/2 як ± √ (27/2). Такім чынам, х - 3 = ± √ (27/2).
Згорніце радыкальны знак і знайдзіце х. Каб паменшыць ± √ (27/2), мы знаходзім квадрат у межах 27, 2 альбо каэфіцыент яго. Квадрат 9 мае 27, таму што 9x3 = 27. Каб выдаліць 9 са знака радыкала, мы выцягваем яго і пішам 3, яго квадратны корань, у дадатак да знака радыкала. Астатні каэфіцыент 3 у лічніку не можа быць выведзены, таму ён застаецца ніжэй радыкальнага знака. У той жа час мы таксама пакідаем 2 у пробе дробу. Далей перамесціце канстанту 3 з левага боку ўраўнення направа і запішыце два рашэнні:
- x = 3 + (√6) / 2
- x = 3 - (√6) / 2)
рэклама

Парада

Як бачна, радыкальны знак не знікае цалкам. Такім чынам, тэрміны ў лічніку не могуць быць кумулятыўнымі (бо яны не з'яўляюцца тэрмінамі адной уласцівасці). Такім чынам, падзел плюс-мінус бессэнсоўны. Замест гэтага мы можам падзяліць усе агульныя фактары, але ПРОСТА калі пастаянны І Каэфіцыенты любога радыкала таксама ўтрымліваюць гэты фактар.
Калі радыкальны знак - не ідэальны квадрат, некалькі апошніх крокаў можна зрабіць некалькі інакш. Такія як:
Калі "b" - цотны лік, формула будзе: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.