Задаволены

• Крокі
• Парада
• Што вам трэба

У матэматыцы, фактарны аналіз заключаецца ў пошуку лікаў або выразаў з здабыткам дадзенага ліку ці ўраўнення. Фактарны аналіз - карысны навык, які можна навучыцца для вырашэння асноўных алгебраічных задач: уменне ўмела разбіраць на множнікі практычна важна для працы. з алгебраічнымі ўраўненнямі альбо іншымі мнагачленнымі формамі. Фактарны аналіз можа быць выкарыстаны для памяншэння алгебраічных выразаў, што робіць праблему прасцейшай. Дзякуючы гэтаму вы нават можаце ліквідаваць некаторыя магчымыя адказы значна хутчэй, чым рашаць ад рукі.

Крокі

Спосаб 1 з 3: Прааналізуйце лікі і асноўныя алгебраічныя выразы на фактары

1. 

   
   
   Зразумець вызначэнне фактарнага аналізу пры ўжыванні да адзінкавых лікаў. Хоць канцэптуальна проста, але на практыцы прымяненне складаных раўнанняў можа быць даволі складаным. Такім чынам, самы просты канцэптуальны падыход да фактарнага аналізу - пачаць з адзіночных лікаў, а потым перайсці да простых раўнанняў, перш чым пераходзіць да больш дасканалых прыкладанняў. Фактар для дадзенага ліку - гэта лікі з творам аднаго і таго ж ліку. Напрыклад, 1, 12, 2, 6, 3 і 4 з'яўляюцца каэфіцыентамі 12, таму што 1 × 12, 2 × 6 і 3 × 4 роўныя 12.
   • Іншымі словамі, множнікі дадзенага ліку - гэта лічбы падзяляецца па гэтым нумары.
   • Вы можаце знайсці поўны каэфіцыент 60? Лік 60 выкарыстоўваецца для мноства розных мэт (хвілін праз гадзіну, секунд за хвіліну і г.д.), таму што ён дзеліцца на мноства лічбаў.
     • Лік 60 мае наступныя множнікі: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 і 60.

2. 

   
   
   Зразумейце, што выразы, якія змяшчаюць зменныя, таксама могуць быць раскладзены на фактары. Акрамя незалежных лікаў, зменныя з арыфметычнымі каэфіцыентамі таксама можна разлічваць на множнікі. Для гэтага нам проста трэба знайсці каэфіцыенты каэфіцыента зменнай. Веданне, як фактарызаваць аналіз, вельмі карысна ў простых пераўтваральных алгебраічных раўнаннях, якія ўтрымліваюць зменныя.
   • Напрыклад, 12x можна перапісаць у вынікі 12 і x. Можна запісаць 12x як 3 (4x), 2 (6x) і г.д., і выкарыстоўваць любы каэфіцыент, які лепш за ўсё падыходзіць для меркаванага выкарыстання 12.
     • Вы можаце дайсці нават да 12-кратнага аналізу шмат разоў. Іншымі словамі, няма неабходнасці спыняцца на 3 (4x) або 2 (6x) - мы можам прааналізаваць 4x і 6x, каб атрымаць 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) адпаведна. Гэтая формула эквівалентная.

3. 

   
   
   Прымяніць асацыятыўныя ўласцівасці множання для разбору на алгебраічныя ўраўненні. Выкарыстоўваючы свае веды па аналізе як незалежных лікаў, так і каэфіцыентаў на фактары, вы можаце спрасціць простыя алгебраічныя ўраўненні, знайшоўшы агульныя фактары лікаў і зменных, уключаных у ўраўненне. Часта, каб ураўненне было максімальна простым, мы паспрабуем знайсці найбольшы агульны дзельнік. Гэта простае пераўтварэнне магчыма дзякуючы асацыятыўнаму характару множання - для кожнага ліку a, b і c маем: a (b + c) = ab + ac.
   • Давайце разгледзім наступны прыклад праблемы. Каб пералічыць алгебраічнае ўраўненне 12x + 6 у множнік, па-першае, мы знаходзім найбольшы агульны дзельнік 12x і 6. 6 - гэта найбольшае лік, на якое дзеляцца і 12x, і 6, таму мы можам проста пераўтварыць паменшыць раўнанне да 6 (2х + 1).
   • Той самы працэс адносіцца да ўраўненняў, якія маюць адмоўныя знакі і дробы. Напрыклад, x / 2 + 4 можна проста пераўтварыць у 1/2 (x + 8), а -7x + -21 можна раскласці ў -7 (x + 3).
   рэклама

Метад 2 з 3: Аналіз квадратных ураўненняў на фактары

1. 

   Пераканайцеся, што ўраўненне мае квадратны выгляд (ax + bx + c = 0). Квадратычнае ўраўненне мае выгляд ax + bx + c = 0, дзе a, b і c - канстанты, a - ненулявое (звярніце ўвагу, што a можа роўна 1 альбо -1). Калі ўраўненне з адной зменнай (x) утрымлівае адзін або некалькі членаў, якія ўтрымліваюць квадрат х, звычайна можна пераўтварыць асноўны алгебраічны аператар з аднаго боку ад знака роўнасці ў 0 і дапусціць ax і гэтак далей. з іншага боку.
   • Напрыклад, алгебраічнае ўраўненне 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 можна звесці да x + 6x + 9 = 0, што з'яўляецца квадратнай формай.
   • Ураўненні, дзе x мае больш высокі паказчык, напрыклад, x, x і гэтак далей. не можа быць квадратным. Яны квадратычныя, чацвярцічныя, ... хіба што ўраўненне можна паменшыць, выключаючы члены, якія ўтрымліваюць ступені 3 і больш х.

2. 

   З квадратнымі ўраўненнямі, калі a = 1, мы раскладаемся на (x + d) (x + e), дзе d × e = c і d + e = b. Калі квадратнае ўраўненне мае выгляд x + bx + c = 0 (іншымі словамі, калі каэфіцыент x = 1), існуе магчымасць (але не ўпэўнены), што мы можам выкарыстоўваць адносна хуткі разлік. проста ўлічыць гэта ўраўненне. Знайдзіце два лікі, роўныя с і сума роўная b. Пасля таго, як вы знайшлі d і e, заменіце іх наступным выразам: (x + d) (x + e). Калі іх памножыць разам, гэтыя два элементы даюць нам квадратнае ўраўненне вышэй - іншымі словамі, яны з'яўляюцца фактарамі ўраўнення.
   • Возьмем для прыкладу квадратнае ўраўненне x + 5x + 6 = 0. 3 і 2 маюць здабытак 6 і адначасова маюць у агульнай складанасці 5. Таму мы можам проста пераўтварыць ураўненне ў (x + 3) ( х + 2).
   • Гэта асноўнае хуткае выпраўленне будзе крыху іншым, калі само ўраўненне будзе крыху іншым:
     • Калі квадратнае ўраўненне мае выгляд x-bx + c, ваш адказ будзе выглядаць у выглядзе: (x - _) (x - _).
     • Калі гэта ў форме x + bx + c, ваш адказ будзе: (x + _) (x + _).
     • Калі гэта ў x-bx-c, ваш адказ будзе ў выглядзе (x + _) (x - _).
   • Заўвага: у прабелах могуць быць дробныя і дзесятковыя знакі. Напрыклад, ураўненне x + (21/2) x + 5 = 0 раскладаецца на (x + 10) (x + 1/2).

3. 

   
   
   Калі магчыма, правядзіце фактарны аналіз шляхам тэставання. Верыце ці не, але пры няпростым квадратным ураўненні адзін з прынятых спосабаў разкладання на множнікі - проста разгледзець праблему, а потым узважыць усе магчымыя адказы, пакуль правільны адказ. Ён таксама вядомы як метад выпрабаванняў.Калі ўраўненне мае выгляд ax + bx + c і a> 1, ваша фактарызацыя будзе мець выгляд (dx +/- _) (ex +/- _), дзе d і e - канстанты іншы не роўны а. d або e (альбо абодва) можа роўна 1, хаця неабавязкова. Калі абедзве роўныя 1, вы ў асноўным скарысталіся б паказанай вышэй хуткай працай.
   • Разгледзім наступны прыклад праблемы. На першы погляд, 3x - 8x + 4 выглядае даволі палохалым. Аднак, як толькі вы разумееце, што 3 мае толькі два фактары (3 і 1), праблема становіцца прасцейшай, бо мы ведаем, што адказ павінен быць у выглядзе (3x +/- _) (x +/- _). У гэтым выпадку падстаноўка -2 у абодвух прабелах дае правільны адказ. -2 × 3x = -6x і -2 × x = -2x. -6x і -2x у агульнай складанасці роўныя -8x. -2 × -2 = 4, таму відаць, што элементы, прааналізаваныя ў дужках пры множанні, даюць нам пачатковае ўраўненне.

4. 

   
   
   Рашы задачу, запоўніўшы квадрат. У некаторых выпадках квадратныя ўраўненні можна хутка і лёгка памножыць, выкарыстоўваючы спецыяльную алгебраічную тоеснасць. Любое квадратнае ўраўненне выгляду x + 2xh + h = (x + h). Такім чынам, калі ў раўнанні b у два разы перавышае квадратны корань з, ураўненне можна раскласці на (x + (sqrt (c))).
   • Напрыклад, ураўненне x + 6x + 9 будзе працаваць для гэтай формы. 3 роўна 9 і 3 × 2 роўна 6. Такім чынам, мы ведаем, што форма разбору на гэтае раўнанне складаецца з (x + 3) (x + 3), альбо (x + 3).

5. 

   
   
   Рашы квадратныя ўраўненні з множнікамі. У любым выпадку, як толькі квадратычны выраз будзе раздзелены на фактары, вы зможаце знайсці магчымы адказ на значэнне х, даўшы кожнаму множніку нуль і вырашыўшы яго. Паколькі вы шукаеце значэнне х такое, каб ураўненне было роўна нулю, любы х, які прыводзіць каэфіцыент роўным нулю, стане магчымым рашэннем гэтага ўраўнення.
   • Вярніцеся да ўраўнення x + 5x + 6 = 0. Гэта раскладаецца на (x + 3) (x + 2) = 0. Калі адзін каэфіцыент роўны нулю, усё ўраўненне становіцца нулем. Магчымымі рашэннямі х з'яўляюцца лікі, якія робяць (х + 3) і (х + 2) роўнымі 0, -3 і -2 адпаведна.

6. 

   Праверце свае адказы - некаторыя могуць быць экзатычнымі! Калі вы знойдзеце магчымыя рашэнні х, заменіце іх зыходным раўнаннем, каб вызначыць, ці правільныя яны. Часам адказ знаходзіць няма праблем прыводзіць да таго, што зыходнае ўраўненне роўна нулю пры замене. Мы называем гэтыя рашэнні Экзатычна і ліквідаваць іх.
   • Давайце заменім -2 і -3 на х + 5х + 6 = 0. Спачатку -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. Так, значыць, -2 - правільнае рашэнне ўраўнення.
   • Зараз паспрабуем -3:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. Гэта таксама дакладна, і таму -3 таксама з'яўляецца правільным рашэннем ураўнення.
   рэклама

Метад 3 з 3: Прааналізуйце іншыя тыпы раўнанняў на фактары

1. 

   Калі ўраўненне мае форму a-b, раскладзіце яго на (a + b) (a-b). Ураўненне з дзвюма зменнымі аналізуецца інакш, чым асноўнае квадратнае ўраўненне. Любое ўраўненне a-b, у якім a і b роўныя нулю, будзе раскладзена на (a + b) (a-b).
   • Напрыклад, ураўненне 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).

2. 

   Калі ўраўненне мае выгляд a + 2ab + b, раскладзіце яго на (a + b). Звярніце ўвагу, што калі трыном мае форму a-2ab + b, форма раздзялення будзе нязначна адрознівацца: (a-b).
   • Ураўненні 4x + 8xy + 4y можна перапісаць як 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Цяпер мы бачым, што ён знаходзіцца ў правільнай форме, і можам з упэўненасцю сказаць, што форма на множнікі гэтага ўраўнення (2x + 2y).

3. 

   Калі ўраўненне мае форму a-b, раскладзіце яго на (a-b) (a + ab + b). І, нарэшце, варта сказаць, што ўтройныя ўраўненні і ўраўненні яшчэ больш высокага парадку можна раскласці на множнікі. Аднак працэс аналізу хутка стане неверагодна складаным.
   • Напрыклад, 8x - 27y раскладаецца на (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
   рэклама

Парада

• a-b можна раскласці на множнікі, а a + b - не.
• Майце на ўвазе, як разлічваць канстанты - гэта можа быць карысна.
• Звяртайце ўвагу на дробы ў працэсе фактарызацыі, звяртайцеся з імі правільна і належным чынам.
• З трызубцам x + bx + (b / 2) яго фактарам будзе (x + (b / 2)) (вы можаце сутыкнуцца з гэтай сітуацыяй падчас завяршэння квадрата).
• Памятайце, што a0 = 0 (уласцівасць, памножанае на нуль).

Што вам трэба

• Папера
• Аловак
• Матэматычная кніга (пры неабходнасці)