Задаволены

• крокі
• парады

Рацыянальная функцыя мае выгляд у = N (х) / D (х), дзе N і D - мнагачлена. Для пабудовы дакладнага графіка такой функцыі спатрэбяцца нядрэнныя веды алгебры, уключаючы дыферэнцыяльныя вылічэнні. Разгледзім наступны прыклад: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

крокі

1. 1 Знайдзіце кропку перасячэння графіка з воссю Y. Для гэтага ў функцыю падстаўце х = 0 і атрымаеце у = 5/2. Такім чынам, кропка перасячэння графіка з воссю Y мае каардынаты (0, 5/2).Адкладзеце гэты пункт на каардынатнай плоскасці.
2. 2 Знайдзіце гарызантальныя асимптоты. Падзяліце лічнік на назоўнік (у слупок), каб вызначыць паводзіны «у» пры значэннях «х», якія імкнуцца ў бясконцасць. У нашым прыкладзе вынікам дзялення будзе y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Пры вялікіх станоўчых ці адмоўных значэннях «х» 17 / (8x + 4) імкнецца да нуля, а графік набліжаецца да прамой, зададзенай функцыяй y = (1/2)x - (7/4). Выкарыстоўваючы пункцірную лінію, пабудуйце графік гэтай функцыі.
   • Калі ступень лічніку менш ступені назоўніка, то вы не зможаце падзяліць лічнік на назоўнік і асимптота апіша функцыяй у = 0.
   • Калі ступень лічніку роўная ступені назоўніка, то асимптота з'яўляецца гарызантальнай прамой, роўнай адносінах каэфіцыентаў пры «х» ў вышэйшай ступені.
   • Калі ступень лічнік на 1 больш ступені назоўніка, то асимптота ўяўляе сабой нахільную прамую, кутняй каэфіцыент якой роўны адносінах каэфіцыентаў пры «х» ў вышэйшай ступені.
   • Калі ступень лічніку больш ступені назоўніка на 2, 3 і г.д., то пры вялікіх значэннях |х| значэння у імкнуцца ў бясконцасць (станоўчую ці адмоўную) у выглядзе квадратнага, кубічнага ці іншай ступені мнагачлена. У гэтым выпадку, хутчэй за ўсё, не трэба будаваць дакладны графік функцыі, атрыманай пры дзяленні лічнік на назоўнік.
3. 3 Знайдзіце нулі функцыі. Рацыянальная функцыя мае нулі, калі яе лічнік роўны нулю, гэта значыць N (х) = 0. У нашым прыкладзе 2x - 6x + 5 = 0. Дискриминант гэтага квадратнага ўраўнення: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Бо дискриминант адмоўны, то N (х), А такім чынам і F (х) Не мае сапраўдных каранёў. Графік рацыянальнай функцыі не перасякае вось Х. Калі ў функцыі ёсць нулі (карані), то адкладзеце іх на каардынатнай плоскасці.
4. 4 Знайдзіце вертыкальныя асимптоты. Для гэтага прыраўнялі назоўнік да нуля. У нашым прыкладзе 4x + 2 = 0 і х = -1/2. Пабудуйце графік вертыкальнай асимптоты, выкарыстоўваючы пункцірную лінію. Калі пры некаторым значэнні х N (х) = 0 і D (х) = 0, то вертыкальная асимптота альбо існуе, альбо не існуе (гэта рэдкі выпадак, але лепш памятаць пра яго).
5. 5 Паглядзіце на астатак ад дзялення лічнік на назоўнік. Ён станоўчы, адмоўны або роўны нулю? У нашым прыкладзе рэшту роўны 17, гэта значыць ён станоўчы. назоўнік 4x + 2 станоўчы справа ад вертыкальнай асимптоты і адмоўны злева ад яе. Гэта азначае, што графік рацыянальнай функцыі пры вялікіх станоўчых значэннях х набліжаецца да асимптоте зверху, а пры вялікіх адмоўных значэннях х - знізу. Так як 17 / (8x + 4) ніколі не роўная нулю, то графік гэтай функцыі ніколі не перасячэ прамую, зададзеную функцыяй у = (1/2)х - (7/4).
6. 6 Знайдзіце лакальныя Экстрэмуму. Лакальны экстрэмуму існуе пры N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = 0. У нашым прыкладзе N '(x) = 4x - 6 і D '(x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Вырашыўшы гэтае раўнанне, вы знойдзеце, што x = 3/2 і x = -5/2. (Гэта не зусім дакладныя значэння, але яны падыдуць для нашага выпадку, калі звышдакладнасць не патрэбна.)
7. 7 Знайдзіце значэнне у для кожнага лакальнага экстрэмуму. Для гэтага падстаўце значэння х ў зыходную рацыянальную функцыю. У нашым прыкладзе f (3/2) = 1/16 і f (-5/2) = -65/16. Адкладзеце кропкі (3/2, 1/16) і (-5/2, -65/16) на каардынатнай плоскасці. Так як вылічэнні заснаваныя на прыблізных значэннях (з папярэдняга кроку), знойдзеныя мінімум і максімум таксама не зусім дакладныя (але, верагодна, вельмі блізкія да дакладных значэнняў). (Кропка (3/2, 1/16) вельмі блізкая да лакальнага мінімуму. Пачынаючы з кроку 3, мы ведаем, што у заўсёды станоўчая пры х> -1/2, і мы знайшлі невялікае значэнне (1/16); такім чынам, у гэтым выпадку значэнне памылкі вельмі маленькае.)
8. 8 Злучыце адкладзеныя кропкі і плаўна прадоўжыце графік да асимптотам (не забудзьцеся аб правільным кірунку набліжэння графіка да асимптотам). Не забывайце, што графік не павінен перасякаць вось Х (гл. Крок 3). Графік таксама не перасякаецца з гарызантальнай і вертыкальнай асимптотами (гл. Крок 5). Ня мяняйце накірунак графіка акрамя як у кропках экстрэмуму, знойдзеных у папярэднім кроку.

парады

• Калі вы выканалі вышэйапісаныя дзеянні строга па парадку, то няма неабходнасці вылічаць другія вытворныя (або аналагічныя складаныя велічыні) для праверкі вашага рашэння.
• Калі вам не трэба вылічаць значэння велічынь, вы можаце замяніць знаходжанне лакальных экстрэмуму на вылічэнне некаторых дадатковых пар каардынатаў (х, у) Паміж кожнай парай асимптот. Больш за тое, калі вам усё роўна, як працуе апісаны метад, то не здзіўляйцеся, чаму вы не можаце знайсці вытворную і вырашыць раўнанне N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = 0.
• У некаторых выпадках вам прыйдзецца працаваць з мнагачлена вышэйшых парадкаў. Калі вы не можаце знайсці дакладнае рашэнне пры дапамозе раскладання на множнікі, формул і да т.п., то ацаніце магчымыя рашэнні, выкарыстоўваючы лікавыя метады, такія як метад Ньютана.
• У рэдкіх выпадках лічнік і назоўнік маюць агульны пераменны множнік. Паводле апісаных крокаў гэта прывядзе да нуля і да вертыкальнай асимптоте на тым самым месцы. Аднак гэта немагчыма, а тлумачэннем служыць адзін з наступных варыянтаў:
  • Нуль у N (х) Мае больш высокую кратнасць, чым нуль у D (х). Графік F (х) Імкнецца да нуля ў гэтай кропцы, але не вызначаны ў ёй. Пакажыце гэта, намаляваўшы акружнасць вакол кропкі.
  • Нуль у N (х) І нуль у D (х) Маюць аднолькавую кратнасць. Графік набліжаецца да некаторай ненулявое кропцы пры гэтым значэнні х, Але не вызначаны ў ёй. Пакажыце гэта, намаляваўшы акружнасць вакол кропкі.
  • Нуль у N (х) Мае больш нізкую кратнасць, чым нуль у D (х). Тут існуе вертыкальная асимптота.