Задаволены

• крокі
• Частка 1 з 3: Транспанаванне матрыцы
• Частка 2 з 3: Уласцівасці Транспанаванне
• Частка 3 з 3: Эрмитово-спалучаная матрыца з комплекснымі элементамі
• парады

Калі вы навучыцеся транспонировать матрыцы, то лепш зразумееце іх структуру. Магчыма, вы ўжо ведаеце аб квадратных матрыцах і аб іх сіметрыі, што дапаможа вам асвоіць Транспанаванне. Апроч іншага, Транспанаванне дапамагае перакладаць вектары ў матрычную форму і знаходзіць вектарныя творы. Пры працы з комплекснымі матрыцамі эрмитово-спалучаныя (спалучаныя-транспонированные) матрыцы дапамагаюць вырашыць самыя розныя задачы.

крокі

Частка 1 з 3: Транспанаванне матрыцы

1. 1 Вазьміце любую матрыцу. Можна транспонировать любую матрыцу, незалежна ад колькасці радкоў і слупкоў. Найбольш часта даводзіцца транспонировать квадратныя матрыцы, якія маюць аднолькавую колькасць радкоў і слупкоў, таму для прастаты разгледзім у якасці прыкладу такую ​​матрыцу:
   • матрыца A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Уявіце першы радок прамой матрыцы ў выглядзе першага слупка транспонированной матрыцы. Проста запішыце першы радок у выглядзе слупка:
   • транспонированная матрыца = A
   • першы слупок матрыцы A:
     1
     2
     3
3. 3 Прарабіце тое ж самае з астатнімі радкамі. Другая радок зыходнай матрыцы стане другім слупком транспонированной матрыцы. Перавядзіце ўсе радкі ў слупкі:
   • A =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Паспрабуйце транспонировать неквадратную матрыцу. Сапраўды такім жа чынам можна транспонировать любую прастакутную матрыцу. Проста запішыце першы радок у выглядзе першага слупка, другі радок - у выглядзе другога слупка, і гэтак далей. У прыведзеным ніжэй прыкладзе кожны радок зыходнай матрыцы пазначаная сваім колерам, каб было больш зразумела, як яна пераўтворыцца пры Транспанаванне:
   • матрыца Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • матрыца Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Выкажам Транспанаванне ў выглядзе матэматычнай запісу. Хоць ідэя Транспанаванне вельмі простая, лепш усё ж запісаць яе ў выглядзе строгай формулы. Пры матрычнай запісу не патрабуюцца якія-небудзь спецыяльныя тэрмiны:
   • Выкажам здагадку, дадзена матрыца B, якая складаецца з m x n элементаў (m радкоў і n слупкоў), тады транспонированная матрыца B ўяўляе сабой набор з n x m элементаў (n радкоў і m слупкоў).
   • Для кожнага элемента b_xy (радок x і слупок y) Матрыцы B ў матрыцы B існуе эквівалентны яму элемент b_yx (радок y і слупок x).

Частка 2 з 3: Уласцівасці Транспанаванне

1. 1 (M = M. Пасля падвойнага Транспанаванне атрымліваецца зыходная матрыца. Гэта даволі відавочна, так як пры паўторным Транспанаванне вы зноў змяняеце радкі і слупкі, у выніку чаго атрымліваецца першапачатковая матрыца.
2. 2 Люстрана адлюстраваў матрыцу адносна галоўнай дыяганалі. Квадратныя матрыцы можна "пераварочваць" адносна галоўнай дыяганалі. Пры гэтым элементы ўздоўж галоўнай дыяганалі (ад a₁₁ да ніжняга правага кута матрыцы) застаюцца на месцы, а астатнія элементы перамяшчаюцца па іншы бок гэтай дыяганалі і застаюцца на тым жа адлегласці ад яе.
   • Калі вам цяжка ўявіць дадзены метад, вазьміце ліст паперы і намалюйце матрыцу 4x4. Затым перастаўце яе бакавыя элементы адносна галоўнай дыяганалі. Прасачыце пры гэтым за элементамі a₁₄ і a₄₁. Пры Транспанаванне яны павінны памяняцца месцамі, як і іншыя пары бакавых элементаў.
3. 3 Транспонируйте сіметрычную матрыцу. Элементы такой матрыцы сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Калі прарабіць апісаную вышэй аперацыю і "перавярнуць" сіметрычную матрыцу, яна не зменіцца. Усе элементы памяняюцца на аналагічныя. Фактычна, гэта стандартны спосаб вызначыць, сіметрычна Ці тая ці іншая матрыца. Калі выконваецца роўнасць A = A, значыць, матрыца A сіметрычна.

Частка 3 з 3: Эрмитово-спалучаная матрыца з комплекснымі элементамі

1. 1 Разгледзім комплексную матрыцу. Элементы комплекснай матрыцы складаюцца з сапраўднай і ўяўнай часткі. Такую матрыцу таксама можна транспонировать, хоць у большасці практычных ужыванняў выкарыстоўваюць спалучаныя-транспонированные, або эрмитово-спалучаныя матрыцы.
   • Хай дадзена матрыца C =
     2+i     3-2i
     0+i     5+0i
2. 2 Заменім элементы комплексна-спалучанымі лікамі. Пры аперацыі комплекснага спалучэння сапраўдная частка застаецца такой жа, а ўяўная частка змяняе свой знак на зваротны. Праробім гэтую аперацыю з усімі чатырма элементамі матрыцы.
   • знойдзем комплексна-спалучаную матрыцу C * =
     2-i     3+2i
     0-i     5-0i
3. 3 Транспонируем атрыманую матрыцу. Возьмем знойдзеную комплексна-спалучаную матрыцу і проста транспонируем яе. У выніку ў нас атрымаецца спалучаныя-транспонированная (эрмитово-спалучаная) матрыца.
   • спалучаныя-транспонированная матрыца C =
     2-i        0-i
     3+2i     5-0i

парады

• У дадзеным артыкуле транспонированная матрыца адносна матрыцы А пазначаецца як A. Сустракаецца таксама абазначэнне A 'або Ã.
• У дадзеным артыкуле эрмитово-спалучаная матрыца адносна матрыцы А пазначаецца як A - гэта агульнапрынятае пазначэнне ў лінейнай алгебры. У квантавай механіцы часта выкарыстоўваюць абазначэнне A.Часам эрмитово-спалучаную матрыцу запісваюць у выглядзе A *, аднак такога абазначэння лепш пазбягаць, так як яно выкарыстоўваецца таксама для запісу комплексна-спалучанай матрыцы.