Задаволены

• Крок

Трыганаметрычнае ўраўненне - гэта ўраўненне з адной або некалькімі трыганаметрычнымі функцыямі зменнай трыганаметрычнай крывой х. Рашэнне для х азначае знаходжанне значэнняў трыганаметрычных крывых, трыганаметрычныя функцыі якіх прымушаюць трыганаметрычнае ўраўненне быць праўдзівым.

• Адказы ці значэнні крывых рашэнняў выражаюцца ў градусах або радыянах. Прыклады:

х = Пі / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; х = 45 градусаў; х = 37,12 градуса; х = 178,37 градуса

• Заўвага: На адзінкавай акружнасці трыганаметрычныя функцыі любой крывой роўныя трыганаметрычным функцыям адпаведнага вугла. Адзінкавая акружнасць вызначае ўсе трыганаметрычныя функцыі зменнай крывой x. Ён таксама выкарыстоўваецца ў якасці доказу пры рашэнні асноўных трыганаметрычных ураўненняў і няроўнасцей.
• Прыклады трыганаметрычных раўнанняў:
  • грэх х + грэх 2х = 1/2; загар х + ложак х = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Адзінкавы круг.
   • Гэта акружнасць з радыусам = 1, дзе O - пачатак. Адзінкавая акружнасць вызначае 4 асноўныя трыганаметрычныя функцыі зменнай крывой x, якая абводзіць яе супраць гадзіннікавай стрэлкі.
   • Калі крывая са значэннем х змяняецца ў залежнасці ад адзінкавай акружнасці, тады мае месца:
   • Гарызантальная вось OAx вызначае трыганаметрычную функцыю f (x) = cos x.
   • Вертыкальная вось OBy вызначае трыганаметрычную функцыю f (x) = sin x.
   • Вертыкальная вось AT вызначае трыганаметрычную функцыю f (x) = tan x.
   • Гарызантальная вось BU вызначае трыганаметрычную функцыю f (x) = cot x.

• Адзінкавая акружнасць таксама выкарыстоўваецца для вырашэння асноўных трыганаметрычных ураўненняў і стандартных трыганаметрычных няроўнасцей, разглядаючы розныя становішчы крывой х на акружнасці.

Крок

1. Зразумець спосаб рашэння.
   • Каб вырашыць трыганаметрычнае ўраўненне, вы пераўтвараеце яго ў адно або некалькі асноўных трыганаметрычных раўнанняў. Вырашэнне трыганаметрычных раўнанняў у выніку прыводзіць да вырашэння 4 асноўных трыганаметрычных раўнанняў.
2. Ведаць, як вырашаць асноўныя трыганаметрычныя ўраўненні.
   • Ёсць 4 асноўныя трыганаметрычныя ўраўненні:
   • грэх х = а; cos x = a
   • загар х = а; ложак х = а
   • Вы можаце вырашыць асноўныя трыганаметрычныя ўраўненні, вывучыўшы розныя становішчы крывой х на трыганаметрычнай акружнасці і выкарыстоўваючы трыганаметрычную табліцу пераўтварэнняў (альбо калькулятар). Каб цалкам зразумець, як вырашаць гэтыя і аналагічныя асноўныя трыганаметрычныя ўраўненні, прачытайце наступную кнігу: "Трыганаметрыя: рашэнне трыганаметрычных ураўненняў і няроўнасцей" (Amazon E-book 2010).
   • Прыклад 1. Вырашыць для граху x = 0,866. Табліца пераўтварэнняў (альбо калькулятар) дае адказ: x = Pi / 3. Трыганаметрычная акружнасць дае яшчэ адну крывую (2Pi / 3) з аднолькавым значэннем для сінуса (0.866). Трыганаметрычны круг таксама забяспечвае бясконцасць адказаў, якія называюцца пашыранымі адказамі.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi і x2 = 2Pi / 3. (Адказы на працягу перыяду (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi і x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Падрабязныя адказы).
   • Прыклад 2. Вырашыце: cos x = -1/2. Калькулятары даюць х = 2 Пі / 3. Трыганаметрычная акружнасць таксама дае х = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, а x2 = - 2Pi / 3. (Адказы за перыяд (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, і x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Пашыраныя адказы)
   • Прыклад 3. Вырашыць: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • х = Пі / 4; (Адказ)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Пашыраны адказ)
   • Прыклад 4. Вырашыць: ложак 2x = 1,732. Калькулятары і трыганаметрычны круг даюць:
   • х = Пі / 12; (Адказ)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Пашыраныя адказы)
3. Вывучыце пераўтварэнні, якія выкарыстоўваюцца пры рашэнні трыганаметрычных раўнанняў.
   • Каб пераўтварыць дадзенае трыганаметрычнае ўраўненне ў стандартныя трыганаметрычныя ўраўненні, выкарыстоўвайце стандартныя алгебраічныя пераўтварэнні (разбор на множнікі, агульны множнік, мнагачлены ...), азначэнні і ўласцівасці трыганаметрычных функцый і трыганаметрычных тоеснасцей. Ёсць каля 31, 14 з якіх з'яўляюцца трыганаметрычнымі тоеснасцямі, ад 19 да 31, якія таксама называюць ідэнтычнасцямі пераўтварэння, таму што яны выкарыстоўваюцца пры пераўтварэнні трыганаметрычных ураўненняў. Глядзіце вышэйзгаданую кнігу.
   • Прыклад 5: Трыганаметрычнае ўраўненне: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 можна пераўтварыць у здабытак асноўных трыганаметрычных ураўненняў, выкарыстоўваючы трыганаметрычныя тоеснасці: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Асноўныя трыганаметрычныя ўраўненні, якія трэба развязаць: cos x = 0; грэх (3x / 2) = 0; і cos (x / 2) = 0.
4. Знайдзіце крывыя, для якіх вядомыя трыганаметрычныя функцыі.
   • Перш чым даведацца, як вырашаць трыганаметрычныя ўраўненні, трэба ведаць, як хутка знайсці крывыя, для якіх вядомыя трыганаметрычныя функцыі. Значэнні пераўтварэнняў крывых (альбо кутоў) можна вызначыць з дапамогай трыганаметрычных табліц альбо калькулятара.
   • Прыклад: Вырашыце для cos x = 0,732. Калькулятар дае рашэнне x = 42,95 градусаў. Адзінкавая акружнасць дае іншыя крывыя з аднолькавым значэннем для косінуса.
5. Намалюйце дугу адказу на адзінкавай акружнасці.
   • Вы можаце стварыць графік для ілюстрацыі рашэння на адзінкавай акружнасці. Канечныя пункты гэтых крывых - гэта правільныя шматкутнікі на трыганаметрычнай акружнасці. Некалькі прыкладаў:
   • Канечныя кропкі крывой x = Pi / 3 + k. Pi / 2 - гэта квадрат на адзінкавай акружнасці.
   • Крывыя x = Pi / 4 + k.Pi / 3 прадстаўлены каардынатамі шасцікутніка на адзінкавай акружнасці.
6. Даведайцеся, як вырашаць трыганаметрычныя ўраўненні.
   • Калі дадзенае трыганаметрычнае ўраўненне змяшчае толькі адну трыганаметрычную функцыю, развяжыце яе як стандартнае трыганаметрычнае ўраўненне. Калі дадзенае ўраўненне ўтрымлівае дзве ці больш трыганаметрычныя функцыі, існуе 2 метады рашэння, у залежнасці ад варыянтаў пераўтварэння ўраўнення.
     • А. Метад 1.
   • Пераўтварыце трыганаметрычнае ўраўненне ў здабытак выгляду: f (x) .g (x) = 0 або f (x) .g (x) .h (x) = 0, дзе f (x), g (x) і h (x) - асноўныя трыганаметрычныя ўраўненні.
   • Прыклад 6. Вырашыць: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Рашэнне. Заменіце sin 2x у раўнанні, выкарыстоўваючы тоеснасць: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Тады развяжыце 2 стандартныя трыганаметрычныя функцыі: cos x = 0 і (sin x + 1) = 0.
   • Прыклад 7. Вырашыць: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Рашэнне: Пераўтварыце гэта ў выраб, выкарыстоўваючы трыганаметрычныя тоеснасці: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Цяпер развяжыце 2 асноўныя трыганаметрычныя ўраўненні: cos 2x = 0 і (2cos x + 1) = 0.
   • Прыклад 8. Вырашыць: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 х 2 Пі)
   • Рашэнне: Пераўтварыце гэта ў прадукт, выкарыстоўваючы трыганаметрычныя тоеснасці: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Цяпер развяжыце 2 асноўныя трыганаметрычныя ўраўненні: cos 2x = 0 і (2sin x + 1) = 0.
     • B. Падыход 2.
   • Пераўтварае трыгальнае ўраўненне ў трыгеральнае ўраўненне з толькі адной унікальнай функцыяй трыгера ў якасці зменнай. Ёсць некалькі парад, як абраць прыдатную зменную. Агульныя зменныя: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t і tan (x / 2) = t.
   • Прыклад 9. Вырашыце: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Рашэнне. У раўнанні заменіце (cos ^ 2x) на (1 - sin ^ 2x) і спросціце ўраўненне:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Цяпер выкарыстоўвайце sin x = t. Ураўненне становіцца: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Гэта квадратнае ўраўненне з 2 каранямі: t1 = -1 і t2 = 9/5. Мы можам адкінуць другі t2, таму што> 1. Цяпер вырашаем: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Прыклад 10. Вырашыць: загар х + 2 загар ^ 2 х = ложак х + 2.
   • Рашэнне. Выкарыстоўвайце tan x = t. Пераўтварыце дадзенае ўраўненне ў раўнанне з t у якасці зменнай: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Вырашыце па t з гэтага прадукту, а затым вырашыце стандартнае трыганаметрычнае ўраўненне tan x = t для x.
7. Рашыце спецыяльныя трыганаметрычныя ўраўненні.
   • Ёсць некалькі спецыяльных трыганаметрычных раўнанняў, якія патрабуюць пэўных пераўтварэнняў. Прыклады:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Вывучыце перыядычныя ўласцівасці трыганаметрычных функцый.
   • Усе трыганаметрычныя функцыі перыядычныя, што азначае, што яны вяртаюцца да аднолькавага значэння пасля павароту на працягу перыяду. Прыклады:
     • Функцыя f (x) = sin x мае кропку 2Pi.
     • Функцыя f (x) = tan x мае Pi як кропку.
     • Функцыя f (x) = sin 2x мае Pi як кропку.
     • Функцыя f (x) = cos (x / 2) мае 4Pi як перыяд.
   • Калі перыяд паказаны ў практыкаванні / тэсце, вам проста трэба знайсці крывую (х) х на працягу гэтага перыяду.
   • УВАГА. Рашэнне трыганаметрычных раўнанняў складана і часта прыводзіць да памылак і памылак. Таму адказы трэба старанна правяраць. Пасля рашэння вы можаце праверыць адказы з дапамогай графічнага калькулятара для прамога прадстаўлення дадзенага трыганаметрычнага ўраўнення R (x) = 0. Адказы (у квадратным корані) прыводзяцца ў знаках пасля коскі. У якасці прыкладу, Pi мае значэнне 3,14