Задаволены

• Крок
• Частка 1 з 3: Асновы аналізу
• Частка 2 з 3: Зразумець вытворныя
• Частка 3 з 3: Зразумець інтэгралы
• Парады

Аналіз (таксама званы вылічэннем) - раздзел матэматыкі, арыентаваны на межы, функцыі, вытворныя, інтэгралы і бясконцыя шэрагі. Гэты прадмет ахоплівае вялікую колькасць матэматыкі і ляжыць у аснове многіх формул і ўраўненняў, якія выкарыстоўваюцца ў фізіцы і механіцы. Верагодна, вам спатрэбіцца некалькі гадоў матэматыкі ў сярэдняй школе, каб правільна зразумець аналіз, але гэты артыкул дапаможа вам пачаць вучыцца распазнаваць ключавыя паняцці, а таксама лепш разумець тэорыю.

Крок

Частка 1 з 3: Асновы аналізу

1. Аналіз - гэта вывучэнне таго, як усё мяняецца. Аналіз - раздзел матэматыкі, які вывучае лічбы і графікі, звычайна ўзятыя з рэальных дадзеных, і тлумачыць, як яны змяняюцца. Спачатку гэта можа здацца не вельмі карысным, але аналіз - адна з найбольш часта выкарыстоўваюцца галінаў матэматыкі. Уявіце сабе інструменты, якія паведамляюць вам, як хутка развіваецца ваш бізнес у любы момант, альбо як скласці план руху касмічнага карабля і як хутка расходуецца яго паліва. Аналіз з'яўляецца важным інструментам у тэхніцы, эканоміцы, статыстыцы, хіміі і фізіцы, і ён унёс свой уклад у шматлікія вынаходкі і адкрыцці.
2. Функцыі - гэта сувязі паміж двума лікамі і выкарыстоўваюцца для адлюстравання адносін. Яны з'яўляюцца правіламі ўзаемасувязі паміж лікамі, і матэматыкі выкарыстоўваюць іх для стварэння графікаў. У функцыі кожны ўваход мае роўна адзін вынік. Напрыклад: у ${ stylestyle y = 2x + 4,}$Падумайце пра паняцце бясконцасці. Бясконцасць - гэта пастаяннае паўтарэнне працэсу. Гэта не канкрэтнае месца (нельга дайсці да бясконцасці), а паводзіны ліку ці ўраўнення, калі гэта зроблена назаўсёды. Гэта важна для вывучэння зменаў: магчыма, вы хочаце ведаць, як хутка рухаецца ваша машына ў любы момант часу, але ці так гэта хутка ваша машына рухаецца на працягу бягучай секунды? Мілісекунды? Нанасекунда? Вы можаце знайсці бясконца меншыя кавалкі часу, каб быць яшчэ больш дакладным, і менавіта тады прыходзіць аналіз.
3. Зразумець паняцце межаў. Абмежаванне кажа вам, што адбываецца, калі нешта набліжаецца да бясконцасці. Вазьміце лік 1 і падзяліце яго на 2. Працягвайце дзяліць на 2 зноў і зноў. 1 становіцца 1/2, а потым 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 і г. д. Кожны раз, калі лік становіцца ўсё меншым і "бліжэйшым" да нуля. Але дзе гэта спыняецца? Колькі разоў трэба падзяліць 1 на 2, каб атрымаць нуль? Замест таго, каб адказаць на гэтае пытанне, вы аналізуеце яго мяжа У гэтым выпадку мяжа.
   • Межы прасцей за ўсё ўявіць на графіцы - напрыклад, ці ёсць кропкі, якія графік амаль датыкаецца, але ніколі не зусім?
   • Абмежаванні могуць быць колькаснымі, бясконцымі і нават адсутнічаць. Напрыклад, пры паслядоўнасці складання 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... і гэта працягваецца бясконца, канчатковы лік становіцца бясконца вялікім. Тады мяжа становіцца бясконцай.
4. Агляд асноўных матэматычных паняццяў алгебры, трыганаметрыі і асноў матэматыкі. Аналіз абапіраецца на вялікую частку матэматыкі, якую вы даведаліся раней. Добрае інфармаванне па ўсіх тэмах значна палягчае вывучэнне і разуменне аналізу. Некаторыя тэмы, на якія трэба ўздумаць:
   • Алгебра. Вы павінны разумець розныя працэсы і ўмець вырашаць раўнанні і сістэмы ўраўненняў з некалькімі зменнымі. Зразумець асновы калекцый. Патрэніруйцеся складаць графікі.
   • Геаметрыя. Геаметрыя - гэта вывучэнне фігур. Вы павінны мець базавыя веды пра трыкутнікі, прастакутнікі і кругі, а таксама пра тое, як вылічыць такія рэчы, як перыметр і плошча. Зразумець куты, лініі і каардынаты
   • Трыганаметрыя. Трыганаметрыя - раздзел матэматыкі, які займаецца ўласцівасцямі акружнасцей і прамавугольных трохвугольнікаў. Ведаць, як выкарыстоўваць трыганаметрычныя тоеснасці, графікі, функцыі і адваротныя трыганаметрычныя функцыі.
5. Набудзьце графічны калькулятар. Аналіз зразумець няпроста, не бачачы, што вы робіце. Графічныя калькулятары робяць функцыі візуальнымі, каб вы маглі лепш зразумець, з якімі ўраўненнямі вы маеце справу. Часта абмежаванні таксама адлюстроўваюцца на экране, а вытворныя і функцыі вылічваюцца аўтаматычна.
   • Многія смартфоны і планшэты сёння прапануюць недарагія, але эфектыўныя графічныя праграмы, калі вы не хочаце альбо не можаце набыць графічны калькулятар.

Частка 2 з 3: Зразумець вытворныя

1. Аналіз выкарыстоўваецца для вывучэння "змены ў пэўны момант". Веданне, чаму нешта змяняецца ў дакладнае імгненне, з'яўляецца асновай аналізу. Напрыклад, аналіз дае вам не толькі хуткасць аўтамабіля, але і тое, наколькі гэтая хуткасць змяняецца ў любы момант. Гэта адно з самых простых спосабаў выкарыстання аналізу, але вельмі важнае. Уявіце, наколькі важная такая інфармацыя для вызначэння хуткасці руху касмічнага карабля да Месяца!
   • Вызначэнне змен у пэўны момант часу мае дыферэнцаваць. Дыферэнцыяцыя - гэта першая з дзвюх асноўных галінаў аналізу.
2. Выкарыстоўвайце вытворныя, каб зразумець, як усё мяняецца ў дадзены момант. "Вытворнае" - прыемнае слова для таго, што часта выклікае нервовасць у студэнтаў. Аднак саму канцэпцыю не так складана зразумець - яна проста азначае "як хутка нешта мяняецца". Вытворныя, з якімі вы сутыкнецеся часцей за ўсё, звязаны з хуткасцю. Аднак звычайна вы не называеце гэта "вытворнай хуткасці", а проста "паскарэннем".
   • Паскарэнне - гэта вытворнае - яно паведамляе вам, як хутка нешта паскараецца альбо запавольваецца, альбо як змяняецца яго хуткасць.
3. Ведайце, што хуткасць змены роўная нахілу паміж двума кропкамі. Гэта адно з найважнейшых адкрыццяў аналізу. Хуткасць змены паміж двума кропкамі роўная нахілу лініі паміж гэтымі двума кропкамі. Проста падумайце пра простую лінію, напрыклад, пра ўраўненне ${ displaystyle y = 3x.}$Ведайце, што вы можаце вызначыць нахіл крывых ліній. Вызначыць нахіл прамой лініі адносна проста: колькі змяняецца ${ displaystyle y}$Калі вы хочаце разлічыць змяненне больш дакладна, пераканайцеся, што кропкі знаходзяцца бліжэй адзін да аднаго. Чым бліжэй вы выбіраеце два моманты, тым дакладней будзе ваш адказ. Выкажам здагадку, вы хочаце ведаць, наколькі разганяецца ваша машына пры націску на газ. Вы не хочаце вымераць змену хуткасці паміж вашым домам і супермаркетам, а змену хуткасці з моманту, калі вы націснеце на акселератар. Чым бліжэй ваша чытанне набліжаецца да гэтай долі секунды, тым больш дакладны разлік змены.
   • Напрыклад, навукоўцы даследуюць, як хутка некаторыя віды выміраюць, каб выратаваць іх. Аднак зімой гіне больш жывёл, чым летам, таму вывучаць хуткасць змен на працягу года не карысна - лепш вызначыць хуткасць змен у меншы перыяд, напрыклад, з 1 ліпеня па 1 жніўня.
4. Выкарыстоўвайце бясконца кароткія радкі, каб вызначыць "імгненную хуткасць змены" альбо знайдзіце вытворную. Тут часта аналіз становіцца трохі заблытаным, але на самой справе гэта вынік двух простых фактаў. Перш за ўсё, вы ведаеце, што нахіл лініі роўны хуткасці змены гэтай лініі. Па-другое, вы ведаеце, што чым бліжэй кропкі лініі будуць адзін да аднаго, тым больш дакладным будзе чытанне. Але як знайсці хуткасць змены ў дадзенай кропцы, калі нахіл - гэта залежнасць паміж двума кропкамі? Адказ: Вы выбіраеце два моманты, якія бясконца блізкія адзін да аднаго.
   • Разгледзім прыклад, калі вы працягваеце дзяліць 1 на 2, атрымліваючы такім чынам 1/2, 1/4, 1/8 і г.д. Такім чынам, у выніку вы набліжаецеся да нуля, і адказ "амаль нуль". Кропкі настолькі блізкія адзін да аднаго, што "амаль роўныя паміж сабой". Гэта прырода вытворных.
5. Даведайцеся, як вызначыць розныя вытворныя. У залежнасці ад раўнання існуе маса розных метадаў пошуку вытворнай, але большасць з іх мае сэнс, калі вы запомнілі асновы вытворных вышэй. Усе вытворныя - спосаб знаходжання нахілу "бясконца малой" лініі. Цяпер, калі вы ведаеце больш пра тэорыю вытворных, вялікая частка працы заключаецца ў пошуку адказаў.
6. Знайдзіце атрыманыя ўраўненні, каб прагназаваць хуткасць змены ў любы час. Карысна выкарыстоўваць вытворныя для вызначэння хуткасці змены ў любы момант часу, але хараство аналізу ў тым, што вы можаце стварыць новую мадэль для любой функцыі. Вытворная ад ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Калі вам гэта цяжка зразумець, паспрабуйце ўспомніць рэальныя прыклады вытворных. Самы просты прыклад заснаваны на хуткасці, якая ахоплівае мноства розных вытворных, з якімі мы сутыкаемся кожны дзень. Не забудзь: вытворная - гэта мера таго, як хутка нешта мяняецца. Прыдумайце просты эксперымент. Вы коціце мармур па стале і кожны раз вымяраеце, наколькі ён рухаецца і як хутка. Зараз уявіце, што мармуровы мармур ідзе за лініяй на графіцы - вы выкарыстоўваеце вытворныя для вымярэння імгненных змен у любы момант на гэтай лініі.
   • Як хутка рухаецца мармур? З якой хуткасцю змяняецца становішча (альбо вытворнае) рухомага мармуру? Мы называем гэтую вытворную "хуткасцю".
   • Пакатайце мармур па схіле і назірайце, як змяняецца хуткасць. Якая хуткасць змены альбо вытворнай хуткасці мармуру? Гэтую вытворную мы называем "паскарэннем".
   • Раскачайце мармур па хвалістай дарожцы, напрыклад, на амерыканскіх горках. Наколькі мармур набірае хуткасць, калі скочваецца, і наколькі мармур запавольвае ўздым? Як хутка ідзе мармур, калі ён знаходзіцца на паўдарозе да першага ўзгорка? Гэта імгненная хуткасць змены, альбо вытворная, гэтага мармуру ў той пэўны момант.

Частка 3 з 3: Зразумець інтэгралы

1. Ведайце, што вы можаце выкарыстоўваць аналіз для пошуку складаных абласцей і аб'ёмаў. З дапамогай аналізу вы можаце вымераць складаныя формы, якія інакш складана вымераць. Разгледзім, напрыклад, праблему, якую вы хочаце ведаць, колькі вады ўтрымлівае доўгае возера няправільнай формы - немагчыма вымераць кожны літр вады асобна альбо з дапамогай лінейкі вымераць форму возера. З дапамогай аналізу вы можаце вывучыць, як мяняюцца краю возера, а затым выкарыстаць гэтую інфармацыю, каб даведацца, колькі вады ў ім утрымліваецца.
   • Выраб геаметрычных мадэляў і вывучэнне аб'ёмаў інтэграваць. Інтэграванае падлік - другая важная галіна аналізу.
2. Ведайце, што інтэграцыя - гэта вобласць пад графікам. Інтэграцыя выкарыстоўваецца для вымярэння прасторы пад лініяй, якая дазваляе вызначыць плошчу дзіўных або няправільных фігур. Вазьміце ўраўненне ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Ведайце, што вы павінны выбраць вобласць для інтэграцыі. Вы не можаце проста інтэграваць цэлую функцыю. Напрыклад, ${ displaystyle y = x}$Падумайце, як вылічыць плошчу прамавугольніка. Дапусцім, у вас ёсць роўная лінія над графікам, напрыклад ${ дысплей у = 4.}$Ведайце, што ў цэлым злічэнні шмат маленькіх прамавугольнікаў складаецца, каб знайсці плошчу плошчы. Калі вы крыху павялічваеце крывую, яна ўяўляецца прамой лініяй. Вы бачыце гэта кожны дзень - вы не можаце ўспрымаць крывізну зямлі, таму што вы так блізка да зямной паверхні. Інтэграцыя стварае бясконцую колькасць невялікіх прамавугольнікаў пад крывой, якія настолькі малыя, што ў асноўным плоскія, што дазваляе лічыць іх. Усе гэтыя прамавугольнікі, складзеныя разам, утвараюць плошчу вобласці пад крывой.
   • Выкажам здагадку, што вы складзеце шмат маленькіх сегментаў пад графікам, і гэта шырыня кожнага сегмента амаль роўна нулю.
3. Ведаць, як правільна чытаць і запісваць інтэгралы. Інтэгралы складаюцца з 4 частак. Тыповы інтэграл выглядае так:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Даведайцеся больш пра пошук інтэгралаў. Інтэграцыя існуе ў розных формах, і вам трэба даведацца шмат розных формул, каб інтэграваць кожную функцыю. Аднак усе яны прытрымліваюцца вышэйапісаных прынцыпаў: інтэграцыя - гэта сума бясконцай колькасці рэчаў.
   • Інтэграваць шляхам замены.
   • Вылічыце нявызначаныя інтэгралы.
   • Інтэграцыя шляхам сумеснага выкарыстання.
4. Ведайце, што інтэграцыя - гэта адваротнае адрозненне і наадварот. Гэта прынцыповае правіла аналізу, якое настолькі важна, што яно атрымала ўласную назву: Асноўная тэарэма інтэгральнага разліку.Паколькі інтэграцыя і дыферэнцыяцыя так цесна звязаны, можна выкарыстоўваць камбінацыю для вызначэння хуткасці змены, паскарэння, хуткасці, месцазнаходжання, руху і г.д., незалежна ад таго, якой інфармацыяй вы валодаеце.
   • Напрыклад, памятайце, што вытворнай ад хуткасці з'яўляецца паскарэнне, таму вы можаце выкарыстоўваць хуткасць, каб знайсці паскарэнне. Але калі вы ведаеце толькі паскарэнне чагосьці (напрыклад, прадметы, якія падаюць з-за гравітацыі), вы можаце інтэграваць, каб аднавіць хуткасць!
5. Ведайце, што з дапамогай інтэграцыі вы таксама можаце кантраляваць гучнасць 3D-аб'ектаў. Паварот плоскай формы - адзін са спосабаў стварыць цвёрдыя целы ў 3D. Уявіце, як на стале круціцца манета - звярніце ўвагу, як манета прымае форму шара пры кручэнні. Гэтая канцэпцыя дазваляе вызначыць аб'ём у адпаведнасці з працэсам, вядомым як "аб'ём шляхам кручэння".
   • Гэта дазваляе вызначыць аб'ём любога цвёрдага рэчыва, пакуль у вас ёсць функцыя, якая яго прадстаўляе. Напрыклад, вы можаце стварыць функцыю, якая адсочвае дно возера, а потым выкарыстоўвае яе для вызначэння аб'ёму возера альбо колькасці вады ў ім.

Парады

• Практыка дасканалая, таму практычныя практыкаванні ў вашым падручніку - нават тыя, якія ваш настаўнік не даваў - і правярайце свае адказы, каб лепш зразумець паняцці.
• Калі вы не можаце знайсці рашэнне, спытайцеся ў настаўніка.