Задаволены

• Крок
• Спосаб 1 з 3: Выкарыстанне метаду замены
• Спосаб 2 з 3: Выкарыстанне метаду элімінацыі
• Спосаб 3 з 3: пабудуйце графікі ўраўненняў
• Парады
• Папярэджанні

У "сістэме ўраўненняў" вам прапануецца адначасова вырашаць два і больш раўнанняў. Калі гэтыя дзве ўтрымліваюць розныя зменныя, такія як x і y, альбо a і b, на першы погляд можа быць цяжка зразумець, як іх вырашыць. На шчасце, як толькі вы ведаеце, што рабіць, вам патрэбныя толькі некаторыя асноўныя матэматычныя навыкі (а часам і некаторыя дробныя веды) для вырашэння праблемы. Калі патрабуецца, альбо вы візуальны студэнт, навучыцеся таксама складаць графікі ўраўненняў. Графікаванне (нанясенне графікаў) графіка можа быць карысным, каб "паглядзець, што адбываецца", або праверыць вашу працу, але яно можа быць і больш павольным, чым іншыя метады, і не працуе з усімі сістэмамі ўраўненняў.

Крок

Спосаб 1 з 3: Выкарыстанне метаду замены

1. Перамясціце зменныя ў розныя бакі ўраўнення. Гэты метад "падстаноўкі" пачынаецца з "рашэння х" (альбо любой іншай зменнай) у адным з раўнанняў. Напрыклад, мы маем наступныя ўраўненні: 4x + 2y = 8 і 5x + 3x = 9. Перш за ўсё, мы разгледзім першае параўнанне. Перастаўце, адняўшы па 2y з кожнага боку, і атрымаеце: 4х = 8-2г.
   • Гэты метад часта выкарыстоўвае дробы на больш познім этапе. Вы таксама можаце выкарыстоўваць прыведзены ніжэй спосаб вывядзення, калі аддаеце перавагу не працаваць з дробамі.
2. Падзяліце абодва бакі ўраўнення, каб вырашыць для "х". Пасля таго, як у вас на адным баку ўраўнення ёсць тэрмін x (ці якая іншая зменная, якую вы выкарыстоўваеце), падзяліце абодва бакі ўраўнення, каб вылучыць зменную. Напрыклад:
   • 4х = 8-2г
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Падключыце гэта назад да іншага раўнання. Пераканайцеся, што вярнуліся да Іншыя параўнанне, а не тое, якое вы ўжо выкарыстоўвалі. У гэтым раўнанні вы заменіце развязаную зменную, пакінуўшы толькі адну зменную. Напрыклад:
   • Цяпер вы ведаеце, што: x = 2 - ½y.
   • Другое ўраўненне, якое вы яшчэ не змянілі: 5x + 3x = 9.
   • У другім раўнанні заменіце x на "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Вырашыць астатнюю зменную. Цяпер у вас ёсць ураўненне толькі з адной зменнай. Выкарыстоўвайце агульныя метады алгебры для вырашэння гэтай зменнай. Калі зменныя адмяняюць адна адну, перайдзіце да апошняга кроку. У адваротным выпадку вы атрымаеце адказ на адну са сваіх зменных:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) у + (6/2) у = 9 (Калі вы не разумееце гэты крок, даведайцеся, як дадаваць дробы. Гэта часта, але не заўсёды, неабходна пры гэтым метадзе).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • у = -2
5. Выкарыстоўвайце адказ для вырашэння іншай зменнай. Не памыліцеся, скончыўшы праблему напалову. Вам давядзецца паўторна ўвесці адказ, які вы атрымалі, у адно з зыходных раўнанняў, каб вы маглі вырашыць для іншай зменнай:
   • Цяпер вы ведаеце, што: у = -2
   • Адно з зыходных раўнанняў: 4x + 2y = 8. (Для гэтага кроку можна выкарыстоўваць абодва ўраўненні).
   • Падключыце -2 замест y: 4х + 2 (-2) = 8.
   • 4х - 4 = 8
   • 4х = 12
   • х = 3
6. Ведайце, што рабіць, калі абедзве зменныя выключаюць адна адну. Калі вы x = 3y + 2 альбо атрымаеце аналагічны адказ у іншым раўнанні, вы спрабуеце атрымаць ураўненне толькі з адной зменнай. Часам замест гэтага атрымліваецца ўраўненне без зменныя. Праверце сваю працу яшчэ раз і пераканайцеся, што першае ўраўненне (перастаўленае) заменена другім, а не першым. Калі вы ўпэўнены, што не дапусцілі памылак, атрымаеце адзін з наступных вынікаў:
   • Калі вы атрымаеце ўраўненне без зменных і якое не адпавядае рэчаіснасці (напрыклад, 3 = 5), тады ў вас праблема ніякага рашэння. (Калі вы намалявалі ўраўненні, вы ўбачыце, што яны паралельныя і ніколі не перасякаюцца).
   • Калі вы атрымаеце ўраўненне без зменных, але такіх добра праўда (напрыклад, 3 = 3), значыць, праблема бясконцая колькасць рашэнняў. Два ўраўненні сапраўды роўныя. (Калі адлюстраваць два ўраўненні, вы ўбачыце, што яны дакладна перакрываюцца).

Спосаб 2 з 3: Выкарыстанне метаду элімінацыі

1. Вызначае зменную, якую трэба выключыць. Часам ураўненні "ліквідуюць" адно аднаго ў зменнай, як толькі вы іх складзеце. Напрыклад, калі вы робіце ўраўненні 3x + 2y = 11 і 5x - 2y = 13 камбайны, "+ 2y" і "-2y" скасуюць адзін аднаго, пры гэтым усе "ys выключаны з раўнання. Паглядзіце ўраўненні ў вашай задачы, каб даведацца, ці будзе якая-небудзь з зменных ухілена такім чынам. Калі ні адна з зменных не ўхіляецца, прачытайце наступны этап за парадай.
2. Памножце ўраўненне, каб адмяніць зменную. (Прапусціце гэты крок, калі зменныя ўжо ліквідавалі адзін аднаго). Калі ні адна з зменных у раўнаннях не адмяняецца сама па сабе, вам прыйдзецца змяніць адно з ураўненняў так, каб яно атрымалася. Гэта прасцей за ўсё зразумець на прыкладзе:
   • Дапусцім, у вас ёсць сістэма ўраўненняў 3x - y = 3 і -x + 2y = 4.
   • Давайце зменім першае ўраўненне так, каб зменная была г. выключаецца. (Вы таксама можаце зрабіць гэта для X зрабіць і атрымаць той самы адказ).
   • - у " першага ўраўнення трэба выключыць з дапамогай + 2г У другім раўнанні. Мы можам зрабіць гэта да - у памножыць на 2.
   • Мы памножым абедзве бакі першага ўраўнення на 2 наступным чынам: 2 (3x - y) = 2 (3), і, такім чынам 6x - 2y = 6. Зараз будзе - 2 гады адпадаюць ад + 2г у другім раўнанні.
3. Аб'яднайце два ўраўненні. Каб мець магчымасць аб'яднаць два ўраўненні, складзіце левы і правы бакі. Калі вы правільна напісалі ўраўненне, адна з зменных павінна адмяніцца ў параўнанні з другой. Вось прыклад з выкарыстаннем тых жа ўраўненняў, што і на апошнім этапе:
   • Вашы ўраўненні: 6x - 2y = 6 і -x + 2y = 4.
   • Злучыце левыя бакі: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Злучыце правыя бакі: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Вырашыць апошнюю зменную. Спрасціце камбінаванае ўраўненне, а затым выкарыстоўвайце асноўную алгебру для вырашэння апошняй зменнай. Калі пасля спрашчэння не засталося зменных, перайдзіце да апошняга кроку ў гэтым раздзеле. У адваротным выпадку вы павінны скончыць простым адказам на адну са сваіх зменных. Напрыклад:
   • Вы маеце: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Згрупуйце зменныя X і г. адзін з адным: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Спрасціце: 5x = 10
   • Вырашыць для х: (5x) / 5 = 10/5, так што х = 2.
5. Вырашыць для іншых зменных. Вы знайшлі адну зменную, але вы яшчэ не ўсё зрабілі. Падстаўце свой адказ адным з зыходных раўнанняў, каб можна было рашыць іншую зменную. Напрыклад:
   • Вы гэта ведаеце х = 2, і гэта адно з вашых зыходных раўнанняў 3x - y = 3 ёсць.
   • Падключыце 2 замест x: 3 (2) - у = 3.
   • Вырашыце y ва ўраўненні: 6 - у = 3
   • 6 - у + у = 3 + у, так 6 = 3 + у
   • 3 = у
6. Ведайце, што рабіць, калі абедзве зменныя выключаюць адна адну. Часам аб'яднанне двух раўнанняў прыводзіць да ўраўнення, якое не мае сэнсу альбо не дапамагае вырашыць задачу. Праверце працу з самага пачатку, але калі вы не памыліліся, запішыце адзін з наступных адказаў:
   • Калі ваша камбінаванае ўраўненне не мае зменных і не адпавядае рэчаіснасці (напрыклад, 2 = 7), значыць, ёсць ніякага рашэння што выконваецца для абодвух раўнанняў. (Калі адлюстраваць абодва ўраўненні, вы ўбачыце, што яны паралельныя і ніколі не перасякаюцца).
   • Калі ваша камбінаванае ўраўненне не мае зменных і дакладна (напрыклад, 0 = 0), то ёсць бясконцая колькасць рашэнняў. Два ўраўненні на самай справе ідэнтычныя. (Калі змясціць іх у графік, вы ўбачыце, што яны цалкам перакрываюць адзін аднаго).

Спосаб 3 з 3: пабудуйце графікі ўраўненняў

1. Выкарыстоўвайце гэты метад толькі тады, калі гэта паказана. Калі вы не карыстаецеся камп'ютэрам або графічным калькулятарам, многія сістэмы ўраўненняў могуць быць толькі развязаны прыблізна з дапамогай гэтага метаду. Ваш настаўнік ці падручнік па матэматыцы можа папрасіць вас выкарыстаць гэты метад, таму вы напэўна знаёмыя з графічнымі ўраўненнямі, такімі як лініі. Вы таксама можаце выкарыстоўваць гэты метад, каб праверыць, ці правільныя вашы адказы з любога іншага спосабу.
   • Асноўная ідэя заключаецца ў тым, што вы графікуеце абодва ўраўненні і вызначаеце кропку, дзе яны перасякаюцца. Значэнні x і y у гэты момант даюць значэнне x і значэнне y у сістэме ўраўненняў.
2. Рашыце абодва ўраўненні для у. Трымайце два ўраўненні асобна і выкарыстоўвайце алгебру, каб пераўтварыць кожнае ўраўненне ў форму "y = __x + __". Напрыклад:
   • Першае ўраўненне: 2x + y = 5. Змяніць гэта на: у = -2x + 5.
   • Другое ўраўненне: -3x + 6y = 0. Зменіце гэта на 6y = 3x + 0, і спрасціць да y = ½x + 0.
   • Ці аднолькавыя абодва ўраўненні, тады ўся лінія становіцца "кропкай перасячэння". Напішыце: бясконцыя рашэнні.
3. Намалюйце сістэму каардынат. Намалюйце на лісце міліметровай паперы вертыкальную «вось у» і гарызантальную «вось х». Пачніце з кропкі, дзе лініі перасякаюцца, і пазначце лічбы 1, 2, 3, 4 і г. д. Уверх па восі y і зноў направа ўздоўж восі x. Пазначце лічбы -1, -2 і г. д. Уздоўж восі y уніз і злева па восі x.
   • Калі ў вас няма міліметровай паперы, выкарыстоўвайце лінейку, каб лічбы былі роўна размешчаны.
   • Калі вы выкарыстоўваеце вялікія лічбы або дзесятковыя коскі, магчыма, вам прыйдзецца павялічыць дыяграму. (Напрыклад 10, 20, 30 альбо 0,1, 0,2, 0,3 замест 1, 2, 3).
4. Намалюйце перасячэнне y для кожнай лініі. Пасля таго, як вы атрымаеце ўраўненне ў выглядзе у = __x + __ вы можаце пачаць складаць графік, усталяваўшы кропку, у якой лінія перахоплівае вось у. Гэта заўсёды мае значэнне y, роўнае апошняму ліку ў гэтым раўнанні.
   • У раней згаданых прыкладах адзін радок (у = -2x + 5) у вось у 5. Іншы радок (y = ½x + 0) праходзіць праз нулявую кропку 0. (Гэта пункты (0,5) і (0,0) на графіцы).
   • Пазначце кожны з радкоў іншым колерам, калі гэта магчыма.
5. Выкарыстоўвайце нахіл, каб працягнуць рысаванне ліній. У форме у = __x + __, - лік для х-й схіл з лініі. Кожны раз, калі х павялічваецца на адзінку, значэнне у будзе павялічвацца са значэннем нахілу. Выкарыстоўвайце гэтую інфармацыю, каб знайсці кропку на графіцы для кожнага радка, калі x = 1. (Альтэрнатыўна падстаўце x = 1 для кожнага ўраўнення і вырашыце для y).
   • У нашым прыкладзе радок мае у = -2x + 5 схіл в -2. Пры х = 1 радок 2 апускаецца ўніз ад кропкі х = 0. Правядзіце адрэзак паміж (0,5) і (1,3).
   • Правіла y = ½x + 0мае ўхіл ½. Пры x = 1 лінія ідзе ½ уверх ад кропкі х = 0. Правядзіце адрэзак паміж (0,0) і (1, ½).
   • Калі лініі маюць аднолькавы нахіл прамыя ніколі не будуць перасякацца, таму няма рашэння для сістэмы ўраўненняў. Напішыце: ніякага рашэння.
6. Працягвайце складаць лініі, пакуль яны не перасякуцца. Спыніцеся і паглядзіце свой графік. Калі лініі ўжо перасеклі адна адну, пераходзіце да наступнага кроку. У адваротным выпадку вы прымаеце рашэнне, зыходзячы з таго, што робяць лініі:
   • Калі лініі рухаюцца адзін да аднаго, вы працягваеце маляваць кропкі ў гэтым кірунку.
   • Калі лініі аддаляюцца адна ад адной, вярніцеся назад і правядзіце кропкі ў іншым кірунку, пачынаючы з х = -1.
   • Калі лініі нідзе не знаходзяцца блізка адна ад адной, перайдзіце наперад і пабудуйце далейшыя кропкі, напрыклад, х = 10.
7. Знайдзіце адказ на перасячэнні ліній. Як толькі дзве лініі перасякаюцца, значэнні x і y у гэтай кропцы з'яўляюцца рашэннем праблемы. Калі вам пашанцуе, адказ будзе цэлым лікам. Напрыклад, у нашых прыкладах дзве лініі перасякаюцца (2,1) так і ваш адказ х = 2 і у = 1. У некаторых сістэмах раўнанняў лініі будуць перасякацца пры значэнні паміж двума цэлымі лікамі, і калі ваш графік не будзе надзвычай дакладным, будзе цяжка сказаць, дзе гэта. У гэтым выпадку вы можаце даць адказ накшталт: "х складае ад 1 да 2". Вы таксама можаце выкарыстоўваць метад замены альбо метад ліквідацыі, каб знайсці дакладны адказ.

Парады

• Вы можаце праверыць сваю працу, увёўшы адказы назад у зыходныя ўраўненні. Калі ўраўненні праўдзівыя (напрыклад, 3 = 3), значыць, ваш адказ правільны.
• У метадзе выключэння часам прыходзіцца памножыць ураўненне на адмоўны лік, каб выключыць зменную.

Папярэджанні

• Гэтыя метады нельга выкарыстоўваць, калі вы маеце справу з лікам ступені, напрыклад х. Каб даведацца больш пра ўраўненні гэтага тыпу, вам спатрэбіцца кіраўніцтва па разліку на квадраты з дзвюма зменнымі.