Фактарныя квадратныя ўраўненні

Відэа: BBC. История математики. Язык Вселенной

Задаволены

Крок
Пачатак
Спосаб 1 з 6: спроба і памылка
Спосаб 2 з 6: Раскладанне
Спосаб 3 з 6: Трайная гульня
Метад 4 з 6: Розніца паміж двума квадратамі
Спосаб 5 з 6: Формула ABC
Спосаб 6 з 6: Карыстанне калькулятарам
Парады
Папярэджанні
Неабходнасці

Мнагачлен змяшчае зменную (х) да пэўнай ступені і некалькі членаў і / або канстант. Каб разлічыць мнагачлен, вам прыйдзецца разбіць выраз на меншыя выразы, якія памножацца разам. Гэта патрабуе пэўнага ўзроўню матэматыкі, таму можа быць цяжка зразумець, калі вы яшчэ не так далёка.

Крок

Пачатак

Ураўненне. Стандартны фармат квадратнага ўраўнення:

ax + bx + c = 0
Пачніце з размяшчэння членаў у вашым раўнанні ад найбольшай да самай нізкай ступені. Напрыклад, возьмем:

6 + 6x + 13x = 0
Мы зменім парадак гэтага выразу, каб з ім стала лягчэй працаваць - проста перамясціўшы тэрміны:

6x + 13x + 6 = 0
Знайдзіце фактары, выкарыстоўваючы адзін з прыведзеных ніжэй спосабаў. Фактарыраванне мнагачлена прывядзе да двух меншых выразаў, якія можна памножыць разам, каб атрымаць зыходны мнагачлен:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
У гэтым прыкладзе (2x +3) і (3x + 2) ёсць фактараў ад зыходнага выразу 6x + 13x + 6.
Праверце сваю працу! Памножце знойдзеныя вамі фактары. Аб'яднайце тыя ж тэрміны, і ўсё гатова. Пачніце з:

(2x + 3) (3x + 2)
Давайце праверым гэта, памножыўшы тэрміны, выкарыстоўваючы EBBL (першы - знешні - унутраны - апошні), які дае нам:

6x + 4x + 9x + 6
Цяпер мы складаем 4x і 9x разам, таму што яны роўныя ўрокі. Мы ведаем, што фактары правільныя, таму што атрымліваем ураўненне, з якога мы пачалі:

6x + 13x + 6

Спосаб 1 з 6: спроба і памылка

Калі ў вас даволі просты мнагачлен, вы можаце адразу зразумець, якія фактары. Напрыклад, пасля пэўнай практыкі многія матэматыкі бачаць выраз 4х + 4х + 1 мае фактары (2x + 1) і (2x + 1) проста таму, што яны бачылі гэта столькі разоў. (Відавочна, што гэта будзе не так проста з больш складанымі мнагачленамі.) Давайце возьмем менш стандартны выраз для гэтага прыкладу:

3x + 2x - 8

Запішыце фактары а тэрмін і c тэрмін. Выкарыстоўвайце фармат ax + bx + c = 0, прызнаць а і c тэрміны і адзначце, якія фактары ёсць. Для 3x + 2x - 8 гэта азначае:

a = 3 і мае 1 пару фактараў: 1 * 3
c = -8, і гэта мае 4 пары фактараў: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 і -1 * 8.
Запішыце дзве пары дужак з пустым прабелам. Тут вы ўводзіце канстанты кожнага выразу:

(х) (х)
Запоўніце прабел перад знакамі х шэрагам магчымых фактараў а значэнне. Для а Тэрмін у нашым прыкладзе, 3x, ёсць толькі 1 магчымасць:

(3x) (1x)
Запоўніце 2 прабелы пасля х з некалькімі фактарамі для канстант. Дапусцім, мы выбіраем 8 і 1. Увядзіце гэта:

(3x8) (X1)
Вызначце, якія знакі (плюс ці мінус) павінны быць паміж х зменнымі і лічбамі. У залежнасці ад сімвалаў арыгінальнага выразу можна даведацца, якімі павінны быць сімвалы канстант. Возьмем дзве канстанты двух фактараў ч і к згадаць:

Калі ax + bx + c, то (x + h) (x + k)
Калі ax - bx - c або ax + bx - c, то (x - h) (x + k)
Калі ax - bx + c, то (x - h) (x - k)
У нашым прыкладзе, 3x + 2x - 8, знак: (x - h) (x + k), што дае нам наступныя два фактары:

(3x + 8) і (x - 1)
Праверце свой выбар з дапамогай множання першы-знешні-унутраны-апошні. Хуткі першы тэст, каб даведацца, ці з'яўляецца сярэдні тэрмін хаця б правільным значэннем. Калі няма, то, напэўна, у вас не той c абраныя фактары. Давайце праверым адказ:

(3x + 8) (x - 1)
Пры множэнні атрымліваем:

3x - 3x + 8x - 8
Спрасціце гэты выраз, дадаўшы падобныя тэрміны (-3x) і (8x), і мы атрымаем:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Цяпер мы ведаем, што прынялі няправільныя фактары:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Пры неабходнасці зменіце свой выбар. У нашым прыкладзе паспрабуем 2 і 4, а не 1 і 8:

(3x + 2) (x - 4)
Цяпер наша c тэрмін роўны -8, але знешняе / унутранае здабытак (3x * -4) і (2 * x) роўна -12x і 2x, што не правільна б тэрмін альбо + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Пры неабходнасці змяніце парадак. Паспрабуем перавярнуць 2 і 4:

(3x + 4) (x - 2)
Цяпер наша c тэрмін (4 * 2 = 8) і ўсё яшчэ ў парадку, але знешнія / унутраныя прадукты складаюць -6x і 4x. Калі мы аб'яднаем іх, атрымаем:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Цяпер мы набліжаемся да 2x, дзе хочам быць, але знак яшчэ не правільны.
Пры неабходнасці яшчэ раз праверце персанажаў. Мы выконваем гэты загад, але памяняем яго знакам мінус:

(3x - 4) (x + 2)
Цяпер c тэрмін усё яшчэ ў парадку, і знешнія / унутраныя прадукты цяпер (6x) і (-4x). Таму што:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Цяпер мы бачым дадатны 2x назад ад першапачатковай задачы. Гэта павінны быць правільныя фактары.

Спосаб 2 з 6: Раскладанне

Гэты метад дае ўсе магчымыя яго фактары а і c тэрміны і выкарыстоўвае іх для высвятлення фактараў, якія з'яўляюцца правільнымі. Калі лічбы вельмі вялікія, альбо здагадка іншых метадаў зойме занадта шмат часу, выкарыстоўвайце гэты спосаб. Прыклад:

6x + 13x + 6

Памножце а тэрмін з c тэрмін. У гэтым прыкладзе а складае 6 і c таксама складае 6.

6 * 6 = 36
Знайдзіце б тэрмін шляхам разбору на фактары і тэставання. Мы шукаем 2 лічбы, якія з'яўляюцца фактарамі а * c і разам б тэрмін (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Падстаўце два лікі, якія вы атрымаеце ў сваім раўнанні, сумай б тэрмін. Давайце к і ч каб прадставіць 2 лічбы, якія мы маем, 4 і 9:

сякера + kx + hx + с
6x + 4x + 9x + 6
Узяць на множнік мнагачлен згрупаваннем. Арганізуйце ўраўненне так, каб можна было раздзяліць найбольшы агульны дзельнік першых двух членаў і апошніх двух членаў. Абодва фактары павінны быць аднолькавымі. Складзіце GGD і ўстаўце іх у дужкі побач з фактарамі; у выніку вы атрымаеце два фактары:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Спосаб 3 з 6: Трайная гульня

Падобны на метад раскладання. Метад "патройнай гульні" вывучае магчымыя фактары прадукту а і c і з яго дапамогай даведацца, што б Павінна быць. У якасці прыкладу возьмем ураўненне:

8x + 10x + 2

Памножце а тэрмін з c тэрмін. Як і ў выпадку з метадам раскладання, мы выкарыстоўваем гэта для вызначэння кандыдатаў у дэпутаты б тэрмін. У гэтым прыкладзе: а складае 8 і c складае 2.

8 * 2 = 16
Знайдзіце 2 лічбы з гэтым лікам у якасці здабытку і з сумай, роўнай б тэрмін. Гэты этап аналагічны метаду раскладання - мы правяраем кандыдатаў на канстанты. Прадукт а і c ўмовы складае 16, а c тэрмін 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Вазьміце гэтыя 2 нумары і заменіце іх у формуле "патройная гульня". Вазьміце 2 лічбы з папярэдняга кроку - давайце іх атрымаем ч і к патэлефануйце ім - і ўстаўце іх у выраз:

((ax + h) (ax + k)) / а

З гэтага мы атрымліваем:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Паглядзіце, на які з двух тэрмінаў у назоўніку можна цалкам падзяліць а. У гэтым прыкладзе мы разглядаем, ці можна (8x + 8) ці (8x + 2) падзяліць на 8. (8x + 8) дзеліцца на 8, таму мы дзелім гэты тэрмін на а а іншага пакідаем непашкоджаным.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Мы захавалі тут тэрмін, які застаўся пасля дзялення на а тэрмін: (x + 1)
Вазьміце, калі магчыма, найбольшы агульны дзельнік (gcd) з аднаго або абодвух членаў. У гэтым прыкладзе мы бачым, што другі член мае gcd 2, таму што 8x + 2 = 2 (4x + 1). Аб'яднайце гэты адказ з тэрмінам, які вы выявілі на папярэднім этапе. Вось фактары вашага параўнання.

2 (x + 1) (4x + 1)

Метад 4 з 6: Розніца паміж двума квадратамі

Вы можаце распазнаць некаторыя каэфіцыенты ў мнагачлене як "квадраты", альбо таксама як здабытак 2 аднолькавых лікаў. Высветліўшы, якія квадраты, вы зможаце значна хутчэй разлічыць мнагачлены. Возьмем ураўненне:

27x - 12 = 0

Выдаліце gcd з раўнання, калі гэта магчыма. У гэтым выпадку мы бачым, што 27 і 12 дзеляцца на 3, таму мы можам размясціць іх асобна:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Вызначце, ці з'яўляюцца каэфіцыенты вашага ўраўнення квадратамі. Для выкарыстання гэтага метаду неабходна вызначыць корань тэрмінаў. (Звярніце ўвагу, што мы апусцілі знакі мінус - паколькі гэтыя лічбы з'яўляюцца квадратамі, яны могуць быць творам 2 адмоўных лікаў)

9x = 3x * 3x і 4 = 2 * 2
Выкарыстоўваючы квадратны корань, які вы вызначылі, зараз можна выпісаць множнікі. Мы бярэм а і c значэнні з папярэдняга кроку: а = 9 і c = 4, таму карані гэтага: - √а = 3 і √c = 2. Гэта каэфіцыенты множаных выразаў:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Спосаб 5 з 6: Формула ABC

Калі нічога не працуе, і вы не можаце вырашыць ураўненне, выкарыстоўвайце формулу abc. Возьмем наступны прыклад:

х + 4х + 1 = 0

Увядзіце адпаведныя значэнні ў формулу abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2а
Цяпер мы атрымліваем выраз:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Вырашыць для х. Цяпер вы павінны атрымаць 2 значэнні для х. Гэтыя:

x = -2 + √ (3) альбо x = -2 - √ (3)
Выкарыстоўвайце значэнні х для вызначэння фактараў. Увядзіце значэнні х, атрыманыя ў двух раўнаннях, у якасці канстант. Гэта вашы фактары. Калі мы адкажам на два ч і к мы запісваем два фактары наступным чынам:

(x - h) (x - k)
У гэтым выпадку канчатковы адказ:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Спосаб 6 з 6: Карыстанне калькулятарам

Калі дазволена (альбо абавязкова) карыстацца графічным калькулятарам, гэта значна палягчае факторынг, асабліва для іспытаў і экзаменаў. Наступныя інструкцыі прызначаны для графічнага калькулятара TI. Мы выкарыстоўваем ураўненне з прыкладу:

у = х - х - 2

Увядзіце ўраўненне ў калькулятар. Вы будзеце выкарыстоўваць рашальнік раўнанняў, таксама вядомы як экран [Y =].
Графікуйце ўраўненне з дапамогай калькулятара. Пасля таго, як вы ўвялі раўнанне, націсніце [GRAPH] - зараз вы павінны ўбачыць выгнутую лінію, парабалу як графічнае адлюстраванне вашага ўраўнення (і гэта парабала, таму што мы маем справу з мнагачленам).
Знайдзіце, дзе парабала перасякаецца з воссю х. Паколькі квадратнае ўраўненне традыцыйна запісваецца як ax + bx + c = 0, гэта два значэнні x, якія робяць ураўненне роўным нулю:

(-1, 0), (2 , 0)
х = -1, х = 2
- Калі вы не можаце ўбачыць, дзе парабала перасякаецца з воссю х, націсніце [2nd], а затым [TRACE]. Націсніце [2] альбо выберыце "нуль". Перамясціце курсор улева ад скрыжавання і націсніце [ENTER]. Перамясціце курсор направа ад скрыжавання і націсніце [ENTER]. Навядзіце курсор як мага бліжэй да кропкі перасячэння і націсніце [ENTER]. Калькулятар пакажа значэнне х. Зрабіце гэта і для іншага скрыжавання.
Увядзіце атрыманыя значэнні x у два ўлічаныя выразы. Калі ўзяць два значэнні х ч і к як тэрмін выраз, які мы выкарыстоўваем, выглядае так:

(x - h) (x - k) = 0
Такім чынам, нашы два фактары становяцца:

(х - (-1)) (х - 2) = (х + 1) (х - 2)

Парады

Калі вы ўлічылі мнагачлен з формулай abc, і ваш адказ утрымлівае карані, вы можаце пераўтварыць значэнні x у дробы, каб праверыць іх.
Калі перад членам няма каэфіцыента, то каэфіцыент роўны 1, напрыклад, x = 1x.
Калі ў вас ёсць калькулятар TI-84, ёсць праграма пад назвай SOLVER, якая можа вырашыць для вас квадратнае ўраўненне. Ён таксама вырашае мнагачлены вышэйшай ступені.
Пасля вялікай практыкі вы ў рэшце рэшт зможаце разгадваць мнагачлены на памяць. Але каб быць у бяспецы, лепш заўсёды выпісваць іх.
Калі тэрмін не існуе, каэфіцыент роўны нулю. Тады можа быць карысна перапісаць ураўненне. Напр. x + 6 = x + 0x + 6.

Папярэджанні

Калі вы вывучаеце гэта паняцце на ўроку матэматыкі, звярніце ўвагу на тое, што тлумачыць настаўнік, і не выкарыстоўвайце проста свой любімы метад. Вас могуць папрасіць выкарыстоўваць пэўны метад для тэсту, альбо графічныя калькулятары могуць быць забаронены.