Задаволены

• папярэднія звесткі
• крокі
• Частка 1 з 3: Асновы
• Частка 2 з 3: Уласцівасці пераўтварэнні Лапласа
• Частка 3 з 3: Знаходжанне пераўтварэнні Лапласа шляхам раскладання ў шэраг

Пераўтварэнне Лапласа ўяўляе сабой інтэгральнае пераўтварэнне, якое выкарыстоўваюць для вырашэння дыферэнцыяльных раўнанняў з пастаяннымі каэфіцыентамі. Гэта пераўтварэнне шырока выкарыстоўваецца ў фізіцы і інжынернай справе.

Хоць можна выкарыстоўваць адпаведныя табліцы, карысна разумець пераўтварэнне Лапласа, каб пры неабходнасці вы маглі правесці яго самастойна.

папярэднія звесткі

• Хай дадзена функцыя ${ Displaystyle f (t)}$, Пэўная для ${ Displaystyle t geq 0.}$ тады пераўтварэннем Лапласа функцыі ${ Displaystyle f (t)}$ з'яўляецца наступная функцыя кожнага значэння ${ Displaystyle s}$, Пры якім інтэграл сыходзіцца:
  • ${ Displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Пераўтварэнне Лапласа перакладае функцыю з t-вобласці (часовай шкалы) у s-вобласць (вобласць пераўтварэння), дзе ${ Displaystyle F (s)}$ ўяўляе сабой комплексную функцыю комплекснай зменнай. Яно дазваляе перавесці функцыю ў тую вобласць, дзе можна лягчэй знайсці рашэнне.
• Відавочна, што пераўтварэнне Лапласа з'яўляецца лінейным аператарам, таму калі мы маем справу з сумай складнікаў, кожны інтэграл можна вылічыць асобна.
  • ${ Displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Памятаеце, што пераўтварэнне Лапласа працуе толькі ў тых выпадках, калі інтэграл сыходзіцца. Калі функцыя ${ Displaystyle f (t)}$ мае парывы, неабходна быць уважлівым і правільна расставіць межы інтэгравання, каб пазбегнуць нявызначанасці.

крокі

Частка 1 з 3: Асновы

1. 1 Падстаўце функцыю ў формулу пераўтварэнні Лапласа. Тэарэтычна пераўтварэнне Лапласа функцыі вылічаецца вельмі проста. Разгледзім у якасці прыкладу функцыю ${ Displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, дзе ${ Displaystyle a}$ - комплексная канстанта з ${ Displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Ацэніце інтэграл з дапамогай даступных метадаў. У нашым прыкладзе ацэнка вельмі простая і можна абысціся простымі вылічэннямі. У больш складаных выпадках могуць спатрэбіцца больш складаныя метады, напрыклад інтэграванне па частках або дыферэнцыявання пад знакам інтэграла. якое абмяжоўвае ўмова ${ Displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ азначае, што інтэграл сыходзіцца, гэта значыць яго значэнне імкнецца да 0 пры ${ Displaystyle t to infty.}$
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {aligned}}}$
   • Улічыце, што гэта дае нам два выгляду пераўтварэнні Лапласа, з сінусам і косінусам, так як паводле формулы Эйлера ${ Displaystyle e ^ {iat}}$. У гэтым выпадку ў назоўніку мы атрымаем ${ Displaystyle s-ia,}$ і застаецца толькі вызначыць сапраўдную і ўяўную частку. Можна таксама ацаніць вынік наўпрост, але гэта заняло б крыху больш часу.
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Разгледзім пераўтварэнне Лапласа спаважнаю функцыі. Для пачатку варта вызначыць пераўтварэнне спаважнаю функцыі, паколькі ўласцівасць лінейнасці дазваляе знайсці пераўтварэнне для усіх полиномов. Спаважнаю з'яўляецца функцыя выгляду ${ Displaystyle t ^ {n},}$ дзе ${ Displaystyle n}$ - любое станоўчае цэлы лік. Можна проинтегрировать па частках, каб вызначыць рэкурсіўнае правіла.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Дадзены вынік выяўлены ў няяўнай форме, але калі падставіць некалькі значэнняў ${ Displaystyle n,}$ можна ўсталяваць пэўную заканамернасць (паспрабуйце зрабіць гэта самастойна), якая дазваляе атрымаць наступны вынік:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {S ^ {n + 1}}}}$
   • Можна таксама вызначыць пераўтварэнне Лапласа дробавых ступеняў з дапамогай гама-функцыі. Напрыклад, такім спосабам можна знайсці пераўтварэнне такой функцыі, як ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Хоць функцыі з дробавымі ступенямі павінны мець разрэзы (як вы памятаеце, любыя комплексныя колькасці ${ Displaystyle z}$ і ${ Displaystyle alpha}$ можна запісаць у выглядзе ${ Displaystyle z ^ { alpha}}$, паколькі ${ Displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), Іх заўсёды можна вызначыць такім чынам, каб разрэзы ляжалі ў левай полуплоскости, і тым самым пазбегнуць праблем з аналітычнасць.

Частка 2 з 3: Уласцівасці пераўтварэнні Лапласа

1. 1 Знойдзем пераўтварэнне Лапласа функцыі, памножанай на eat{ Displaystyle e ^ {at}}. Атрыманыя ў папярэднім раздзеле вынікі дазволілі нам высветліць некаторыя цікавыя ўласцівасці пераўтварэння Лапласа. Пераўтварэнне Лапласа такіх функцый, як косінус, сінус і экспанентны функцыя, здаецца больш простым, чым пераўтварэнне спаважнаю функцыі. множанне на ${ Displaystyle e ^ {at}}$ у t-вобласці адпавядае зруху у s-вобласці:
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Гэта ўласцівасць адразу ж дазваляе знайсці пераўтварэнне такіх функцый, як ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, Без неабходнасці вылічаць інтэграл:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Знойдзем пераўтварэнне Лапласа функцыі, памножанай на tn{ Displaystyle t ^ {n}}. Спачатку разгледзім множанне на ${ Displaystyle t}$. Паводле азначэння, можна продифференцировать функцыю пад інтэгралам і атрымаць дзіўна просты вынік:
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Паўтараючы дадзеную аперацыю, атрымліваем канчатковы вынік:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Хоць перастаноўка аператараў інтэгравання і дыферэнцыявання патрабуе некаторага дадатковага абгрунтавання, мы не будзем прыводзіць яго тут, а толькі адзначым, што дадзеная аперацыя карэктная ў тым выпадку, калі канчатковы вынік мае сэнс. Можна таксама прыняць да ўвагі той факт, што зменныя ${ Displaystyle s}$ і ${ Displaystyle t}$ не залежаць адзін ад аднаго.
   • З дапамогай дадзенага правілы лёгка знайсці пераўтварэнне такіх функцый, як ${ Displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, Без паўторнага інтэгравання па частках:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Знойдзем пераўтварэнне Лапласа функцыі f(at){ Displaystyle f (at)}. Гэта можна лёгка зрабіць з дапамогай замены зменнай на u, выкарыстоўваючы вызначэнне пераўтварэнні:
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {aligned}}}$
   • Вышэй мы знайшлі пераўтварэнне Лапласа функцый ${ Displaystyle sin at}$ і ${ Displaystyle cos at}$ непасрэдна з экспаненцыяльнай функцыі. З дапамогай гэтага ўласцівасці можна атрымаць той жа вынік, калі знайсці сапраўдную і ўяўную часткі ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Знойдзем пераўтварэнне Лапласа вытворнай f′(t){ Displaystyle f ^ { prime} (t)}. У адрозненне ад папярэдніх прыкладаў, у дадзеным выпадку прыйдзецца інтэграваць па частках:
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • Паколькі другая вытворная сустракаецца ў многіх фізічных задачах, знойдзем пераўтварэнне Лапласа і для яе:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • У агульным выпадку пераўтварэнне Лапласа вытворнай n-га парадку вызначаецца наступным чынам (гэта дазваляе вырашыць дыферэнцыяльныя ўраўненні з дапамогай пераўтварэння Лапласа):
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Частка 3 з 3: Знаходжанне пераўтварэнні Лапласа шляхам раскладання ў шэраг

1. 1 Знойдзем пераўтварэнне Лапласа для перыядычнай функцыі. Перыядычная функцыя задавальняе ўмове ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ дзе ${ Displaystyle T}$ - перыяд функцыі, а ${ Displaystyle n}$ - станоўчае цэлы лік. Перыядычныя функцыі шырока выкарыстоўваюцца ў многіх сферах, у тым ліку для апрацоўкі сігналаў і ў электратэхніцы. З дапамогай простых пераўтварэнняў атрымліваем наступны вынік:
   • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { aligned}}}$
   • Як бачна, у выпадку перыядычным функцыі дастаткова выканаць пераўтварэнне Лапласа для аднаго перыяду.
2. 2 Выканайце пераўтварэнне Лапласа для натуральнага лагарыфма. У гэтым выпадку інтэграл нельга выказаць у выглядзе элементарных функцый. Выкарыстанне гама-функцыі і яе раскладання ў шэраг дазваляе ацаніць натуральны лагарыфм і яго ступені. Наяўнасць пастаяннай Эйлера-Маскерони ${ Displaystyle gamma}$ паказвае, што для ацэнкі дадзенага інтэграла неабходна выкарыстоўваць разлажэнне ў шэраг.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Разгледзім пераўтварэнне Лапласа ненармаваны функцыі sinc. функцыя ${ Displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ шырока выкарыстоўваецца для апрацоўкі сігналаў, у дыферэнцыяльных раўнаннях яна эквівалентная сферычнай функцыі Бесселя першага роду і нулявога парадку ${ Displaystyle j_ {0} (x).}$ Пераўтварэнне Лапласа гэтай функцыі таксама немагчыма вылічыць стандартнымі метадамі. У дадзеным выпадку праводзяць пераўтварэнне асобных членаў шэрагу, якія ўяўляюць сабой сталыя функцыі, таму іх пераўтварэнні абавязкова сыходзяцца на зададзеным інтэрвале.
   • Спачатку запішам разлажэнне функцыі ў шэраг Тэйлара:
     • ${ Displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Цяпер выкарыстоўваем ўжо вядомае нам пераўтварэнне Лапласа спаважнаю функцыі. Факториалы скарачаюцца, і ў выніку атрымліваем разлажэнне Тэйлара для арктангенса, то ёсць знаказменных шэраг, які нагадвае шэраг Тэйлара для сінуса, але без факториалов:
     • ${ Displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$